阿基米德中點定理

阿基米德中點定理（英語：Archimedes' Midpoint Theorem），又稱為阿基米德折弦定理，是一個關於圓的定理。若一個圓上有兩點${\displaystyle A,B}$，${\displaystyle M}$為弧${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$的中點，隨意選圓上的一點${\displaystyle D}$為${\displaystyle {\overline {AC}}}$上的點使得${\displaystyle {\overline {MD}}}$垂直${\displaystyle {\overline {AC}}}$。若${\displaystyle M}$、${\displaystyle C}$在弦${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$异侧，则${\displaystyle {\overline {AD}}}$=${\displaystyle {\overline {CD}}}$-${\displaystyle {\overline {BC}}}$；若${\displaystyle M}$、${\displaystyle C}$在弦${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$同侧，则${\displaystyle {\overline {AD}}}$=${\displaystyle {\overline {CD}}}$+${\displaystyle {\overline {BC}}}$。

在此图中AD=DC+BC

证明

若为同侧：在线段${\displaystyle {\overline {AD}}}$ 上取点${\displaystyle X}$ ，使得${\displaystyle {\overline {DX}}={\overline {DC}}}$ ，由于${\displaystyle {\overline {MD}}\perp {\overline {AC}}}$ ，有

${\displaystyle {\overline {MX}}={\overline {MC}}}$ 。又因为${\displaystyle M}$ 为弧${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$ 中点，${\displaystyle {\overset {\frown }{AM}}={\overset {\frown }{BM}}}$ 。

同时由圆周角定理知：

${\displaystyle \angle MAC=\angle MBC}$ ，${\displaystyle \angle ABM=\angle ACM}$ ，

所以 ${\displaystyle \angle XMC=2\angle DMC=180^{\circ }-2\angle ACM=180^{\circ }-2\angle ABM=\angle AMB}$  ，

所以 ${\displaystyle \angle AMX=\angle AMC-\angle XMC=\angle AMC-\angle AMB=\angle BMC}$ ，

所以 ${\displaystyle \triangle AMX\cong \triangle BMC}$ ，

所以 ${\displaystyle {\overline {AX}}={\overline {BC}}}$ ，${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AX}}+{\overline {XD}}={\overline {DC}}+{\overline {CB}}}$ ，命题得证。

若为异侧：在线段${\displaystyle {\overline {AD}}}$ 延长线上取点${\displaystyle X}$ ,使${\displaystyle {\overline {DX}}={\overline {AD}}}$ .因为${\displaystyle M}$ 为弧${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$ 中点，所以${\displaystyle \angle ACM=\angle BCM}$ 。又因为四边形${\displaystyle AMBC}$ 为圆内接四边形，所以，延长${\displaystyle {\overline {CB}}}$ 至${\displaystyle P}$ ，则${\displaystyle \angle MBP=\angle MAC}$ 。但是${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {DX}}}$ ，${\displaystyle \angle ADM}$ 为直角，所以${\displaystyle \triangle ADM\cong \triangle XDM}$  ； ${\displaystyle \angle MAC=\angle AXM}$  ； ${\displaystyle \angle MBP=\angle AXM}$  ； ${\displaystyle \angle CXM=\angle CBM}$  。

又${\displaystyle {\overline {CM}}={\overline {CM}}}$ ，所以 ${\displaystyle \triangle CXM\cong \triangle CBM}$  。

承上所述，所以${\displaystyle {\overline {CX}}={\overline {CB}}}$ 。所以${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {DC}}-{\overline {CX}}={\overline {DC}}-{\overline {CB}}}$ 。

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