閉圖像定理

閉圖像定理是數學中泛函分析的一條定理。

敘述

設${\displaystyle X}$ ，${\displaystyle Y}$ 為巴拿赫空間，${\displaystyle T:X\to Y}$ 為線性算子。定義${\displaystyle T}$ 的圖像為${\displaystyle X\times Y}$ 的子空間

${\displaystyle \Gamma (T)=\{(x,T(x))\in X\times Y\vert x\in X\}}$ 。

賦予${\displaystyle X\times Y}$ 範數${\displaystyle \|(x,y)\|_{X\times Y}=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}}$ ，使得${\displaystyle X\times Y}$ 成為巴拿赫空間。那麼，這定理指${\displaystyle T}$ 是連續的（與有界等價）當且僅當${\displaystyle \Gamma (T)}$ 在${\displaystyle X\times Y}$ 內是閉集。

證明

閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。

${\displaystyle \Gamma (T)}$ 是閉集的充分必要條件是如果序列${\displaystyle \{(x_{n},y_{n})\}_{n}\subset \Gamma (T)}$ （即對任意${\displaystyle n}$ 有${\displaystyle y_{n}=T(x_{n})}$ ），而${\displaystyle (x_{n},y_{n})\to (x,y)}$ ，那麼${\displaystyle (x,y)\in \Gamma (T)}$ ，${\displaystyle y=T(x)}$ 。如果${\displaystyle T}$ 是連續的，從連續性立刻可知${\displaystyle \Gamma (T)}$ 是閉集，因為連續性是更強的條件：如果${\displaystyle x_{n}\to x}$ ，則${\displaystyle T(x_{n})\to T(x)}$ 。

如果${\displaystyle \Gamma (T)}$ 是閉集，可以在${\displaystyle \Gamma (T)}$ 定義線性算子

${\displaystyle \pi _{1}:\Gamma (T)\to X,\ (x,y)\mapsto x}$ ，

${\displaystyle \pi _{2}:\Gamma (T)\to Y,\ (x,y)\mapsto y}$ 。

顯然${\displaystyle \|\pi _{2}(x,y)\|_{Y}=\|y\|_{Y}\leq \|(x,y)\|_{X\times Y}}$ ，因此${\displaystyle \pi _{2}}$ 是有界算子。

${\displaystyle \Gamma (T)}$ 是巴拿赫空間${\displaystyle X\times Y}$ 中的閉子空間，所以${\displaystyle \Gamma (T)}$ 是巴拿赫空間。${\displaystyle X}$ 也是巴拿赫空間，${\displaystyle \pi _{1}}$ 是雙射，從而由開映射定理的系可知，其逆${\displaystyle \pi _{1}^{-1}:X\to \Gamma (T)}$ 為有界算子。

因為${\displaystyle T=\pi _{2}\circ \pi _{1}^{-1}}$ ，故${\displaystyle T}$ 也是有界的。

推論

從這定理可得出黑林格-特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性算子是有界的。

泛函分析中的定理

阿尔泽拉-阿斯科利定理 • 贝尔纲定理 • 巴拿赫-阿劳格鲁定理 • 巴拿赫-马祖尔定理 • 开映射定理 • 一致有界性原理 • 閉圖像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米尔格拉姆定理