閉圖像定理, 是數學中泛函分析的一條定理, 敘述, 编辑設x, displaystyle, nbsp, displaystyle, nbsp, 為巴拿赫空間, displaystyle, nbsp, 為線性算子, 定義t, displaystyle, nbsp, 的圖像為x, displaystyle, times, nbsp, 的子空間, displaystyle, gamma, times, vert, nbsp, 賦予x, displaystyle, times, nbsp, 範數, displaystyle. 閉圖像定理是數學中泛函分析的一條定理 敘述 编辑設X displaystyle X nbsp Y displaystyle Y nbsp 為巴拿赫空間 T X Y displaystyle T X to Y nbsp 為線性算子 定義T displaystyle T nbsp 的圖像為X Y displaystyle X times Y nbsp 的子空間 G T x T x X Y x X displaystyle Gamma T x T x in X times Y vert x in X nbsp 賦予X Y displaystyle X times Y nbsp 範數 x y X Y x X y Y displaystyle x y X times Y x X y Y nbsp 使得X Y displaystyle X times Y nbsp 成為巴拿赫空間 那麼 這定理指T displaystyle T nbsp 是連續的 與有界等價 當且僅當G T displaystyle Gamma T nbsp 在X Y displaystyle X times Y nbsp 內是閉集 證明 编辑閉圖像定理可以從開映射定理推導出來 G T displaystyle Gamma T nbsp 是閉集的充分必要條件是如果序列 x n y n n G T displaystyle x n y n n subset Gamma T nbsp 即對任意n displaystyle n nbsp 有y n T x n displaystyle y n T x n nbsp 而 x n y n x y displaystyle x n y n to x y nbsp 那麼 x y G T displaystyle x y in Gamma T nbsp y T x displaystyle y T x nbsp 如果T displaystyle T nbsp 是連續的 從連續性立刻可知G T displaystyle Gamma T nbsp 是閉集 因為連續性是更強的條件 如果x n x displaystyle x n to x nbsp 則T x n T x displaystyle T x n to T x nbsp 如果G T displaystyle Gamma T nbsp 是閉集 可以在G T displaystyle Gamma T nbsp 定義線性算子 p 1 G T X x y x displaystyle pi 1 Gamma T to X x y mapsto x nbsp p 2 G T Y x y y displaystyle pi 2 Gamma T to Y x y mapsto y nbsp 顯然 p 2 x y Y y Y x y X Y displaystyle pi 2 x y Y y Y leq x y X times Y nbsp 因此p 2 displaystyle pi 2 nbsp 是有界算子 G T displaystyle Gamma T nbsp 是巴拿赫空間X Y displaystyle X times Y nbsp 中的閉子空間 所以G T displaystyle Gamma T nbsp 是巴拿赫空間 X displaystyle X nbsp 也是巴拿赫空間 p 1 displaystyle pi 1 nbsp 是雙射 從而由開映射定理的系可知 其逆p 1 1 X G T displaystyle pi 1 1 X to Gamma T nbsp 為有界算子 因為T p 2 p 1 1 displaystyle T pi 2 circ pi 1 1 nbsp 故T displaystyle T nbsp 也是有界的 推論 编辑從這定理可得出黑林格 特普利茨定理 希爾伯特空間上處處定義的對稱線性算子是有界的 泛函分析中的定理 阿尔泽拉 阿斯科利定理 贝尔纲定理 巴拿赫 阿劳格鲁定理 巴拿赫 马祖尔定理 开映射定理 一致有界性原理 閉圖像定理 哈恩 巴拿赫定理 拉克斯 米尔格拉姆定理 取自 https zh wikipedia org w index php title 閉圖像定理 amp oldid 76916289, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,