鑒相器特性函數

鑒相器特性函數（phase detector characteristic）是相位差的函數，可以描述鉴相器的輸出。

在鑒相器的分析時，常需要考慮時域以及相域-時域的特性^[1]。 若要建立鑒相器在相域-時域的適合非線性數學模型，需要找到鑒相器的特性。 鑒相器的輸入是高頻信號，其輸出包括低頻的誤差修正信號，對應輸入信號的相位差。若鑒相器的輸出有高頻成份，為了要抑制高頻成份，會需要低通濾波器。鑒相器的特性是指鑒相器在相域-時域的輸出和其輸入相位差的相關性。

鑒相器的特性和其實現方式以及其使用的信號種類有關。考量鑒相器特性時，允許針對高頻振盪使用平均法，也允許從時域下從相位同步系統非自治模型的分析和仿真，改為在相域-時域自治模型的分析和仿真^[2]。

類比乘法器的鑒相器特性

考慮用類比乘法器和低通濾波器組成的鑒相器。

 

相域—頻域下的鑒相器

此處${\displaystyle f^{1}(\theta ^{1}(t))}$  and ${\displaystyle f^{2}(\theta ^{2}(t))}$ 是高頻信號，分段可微函數${\displaystyle f^{1}(\theta )}$ , ${\displaystyle f^{2}(\theta )}$ 是輸入信號的波形，${\displaystyle \theta ^{1,2}(t)}$ 是相位，而${\displaystyle g(t)}$ 是濾波器的輸出。

若${\displaystyle f^{1,2}(\theta )}$ 和${\displaystyle \theta ^{1,2}(t)}$ 滿足高頻條件（高頻條件在^[3][4]），則 鑒相器特性函數${\displaystyle \phi (\theta )}$ 會用以下方式計算，要使得時域的濾波器輸出

${\displaystyle g(t)=\int \limits _{0}^{t}f^{1}(\theta ^{1}(t))f^{2}(\theta ^{2}(t))dt}$ 

和相域—頻域模型的濾波輸出

${\displaystyle G(t)=\int \limits _{0}^{t}\varphi (\theta ^{1}(t)-\theta ^{2}(t))dt}$ 

幾乎相等

${\displaystyle g(t)-G(t)\approx 0}$ 

弦波輸入

考慮簡單的弦波輸入${\displaystyle f^{1}(\theta )=\sin(\theta ),}$  ${\displaystyle f^{2}(\theta )=\cos(\theta )}$ 以及積分器濾波器。

${\displaystyle \sin(\theta ^{1}(t))\cos(\theta ^{2}(t))={\frac {1}{2}}\sin(\theta ^{1}(t)+\theta ^{2}(t))+{\frac {1}{2}}\sin(\theta ^{1}(t)-\theta ^{2}(t))}$ 

標準的工程假設會假設濾波器會去除高頻訊號${\displaystyle \sin(\theta ^{1}(t)+\theta ^{2}(t))}$ ，不改變其低頻訊號${\displaystyle \sin(\theta ^{1}(t)-\theta ^{2}(t))}$ 。

因此，其弦波訊號的鑒相器特性為

${\displaystyle \varphi (\theta )={\frac {1}{2}}\sin(\theta ).}$ 

方波輸入

考慮高頻方波信號${\displaystyle f^{1}(t)=\operatorname {sgn}(\sin(\theta ^{1}(t)))}$  and ${\displaystyle f^{2}(t)=\operatorname {sgn}(\cos(\theta ^{2}(t)))}$ 。 針對此訊號，已有論文研究出類似的結果^[5] 。 方波訊號的鑒相器特性為

${\displaystyle \varphi (\theta )={\begin{cases}1+{\frac {2\theta }{\pi }},&{\text{if }}\theta \in [-\pi ,0],\\1-{\frac {2\theta }{\pi }},&{\text{if }}\theta \in [0,\pi ].\\\end{cases}}}$ 

一般輸入訊號

考慮一般情形的片段連續輸入信號${\displaystyle f^{1}(\theta )}$ , ${\displaystyle f^{2}(\theta )}$ 。

輸入信號可以展開為傅立葉級數，${\displaystyle f^{1}(\theta )}$ 和${\displaystyle f^{2}(\theta )}$ 傅立葉級數的係數如下：

${\displaystyle a_{i}^{p}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f^{p}(x)\sin(ix)dx,}$ ${\displaystyle b_{i}^{p}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f^{p}(x)\cos(ix)dx,}$ ${\displaystyle c_{i}^{p}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f^{p}(x)dx,p=1,2}$ 

鑒相器特性為 ^[2]

${\displaystyle \varphi (\theta )=c^{1}c^{2}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{l=1}^{\infty }{\bigg (}(a_{l}^{1}a_{l}^{2}+b_{l}^{1}b_{l}^{2})\cos(l\theta )+(a_{l}^{1}b_{l}^{2}-b_{l}^{1}a_{l}^{2})\sin(l\theta ){\bigg )}.}$ 

顯然，鑒相器特性${\displaystyle \varphi (\theta )}$ 是在${\displaystyle \mathbb {R} }$ 內的週期性、連續有界函數。

有些專利是有關此分析方式的結果^[6]。

參考資料

1. A. J. Viterbi, Principles of Coherent Communication, McGraw-Hill, New York, 1966
2. Leonov G.A.; Kuznetsov N.V.; Yuldashev M.V.; Yuldashev R.V. (PDF). IEEE Transactions on Circuits and Systems Part II. 2012, 59 (10): 633–637 [2021-05-21]. doi:10.1109/TCSII.2012.2213362. （原始内容 (PDF)存档于2021-01-20）. 
3. G. A. Leonov; N. V. Kuznetsov; M. V. Yuldashev; R. V. Yuldashev. (PDF). Doklady Mathematics. 2011, 84 (1): 586–590 [2021-05-21]. doi:10.1134/S1064562411040223. （原始内容 (PDF)存档于2021-01-20）. 
4. N.V. Kuznetsov; G.A. Leonov; M.V. Yuldashev; R.V. Yuldashev. Analytical methods for computation of phase-detector characteristics and PLL design. ISSCS 2011 - International Symposium on Signals, Circuits and Systems, Proceedings. 2011: 7–10. doi:10.1109/ISSCS.2011.5978639. 
5. G. A. Leonov. Computation of phase detector characteristics in phase locked loops for clock synchronization. Doklady Mathematics. 2008, 78 (1): 643–645. doi:10.1134/S1064562408040443. 
6. Patent RU 2011113212/08(019571)