达布积分, 在实分析或数学分析中, 是一种定义一个函数的积分的方法, 它是通过达布和构造的, 和黎曼积分是等价的, 也就是说, 一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的, 并且积分的值相等, 的定义比黎曼积分简单, 并且更具操作性, 的名字来自于数学家让, 加斯东, 达布, jean, gaston, darboux, 目录, 区间的分割, 达布和, 性质, 例子, 一个达布可积函数, 一个不可积函数, 与黎曼积分的关系, 参见区间的分割, 编辑一个闭区间, displaystyle, 的一个分割是指在此区间. 在实分析或数学分析中 达布积分是一种定义一个函数的积分的方法 它是通过达布和构造的 达布积分和黎曼积分是等价的 也就是说 一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的 并且积分的值相等 达布积分的定义比黎曼积分简单 并且更具操作性 达布积分的名字来自于数学家让 加斯东 达布 Jean Gaston Darboux 目录 1 区间的分割 2 达布和 3 性质 4 例子 4 1 一个达布可积函数 4 2 一个不可积函数 5 与黎曼积分的关系 6 参见区间的分割 编辑一个闭区间 a b displaystyle a b 的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列a x 0 lt x 1 lt x 2 lt lt x n b displaystyle a x 0 lt x 1 lt x 2 lt ldots lt x n b 每个闭区间 x i x i 1 displaystyle x i x i 1 叫做一个子区间 定义l displaystyle lambda 为这些子区间长度的最大值 l max x i 1 x i displaystyle lambda max x i 1 x i 其中0 i n 1 displaystyle 0 leq i leq n 1 再定义取样分割 一个闭区间 a b displaystyle a b 的一个取样分割是指在进行分割a x 0 lt x 1 lt x 2 lt lt x n b displaystyle a x 0 lt x 1 lt x 2 lt ldots lt x n b 后 于每一个子区间中 x i x i 1 displaystyle x i x i 1 取出一点 x i t i x i 1 displaystyle x i leq t i leq x i 1 l displaystyle lambda 的定义同上 精细化分割 设x 0 x n displaystyle x 0 ldots x n 以及t 0 t n 1 displaystyle t 0 ldots t n 1 构成了闭区间 a b displaystyle a b 的一个取样分割 y 0 y m displaystyle y 0 ldots y m 和s 0 s m 1 displaystyle s 0 ldots s m 1 是另一个分割 如果对于任意0 i n displaystyle 0 leq i leq n 都存在r i displaystyle r i 使得x i y r i displaystyle x i y r i 并存在r i j r i 1 displaystyle r i leq j leq r i 1 使得t i s j displaystyle t i s j 那么就把分割 y 0 y m displaystyle y 0 ldots y m s 0 s m 1 displaystyle s 0 ldots s m 1 称作分割x 0 x n displaystyle x 0 ldots x n t 0 t n 1 displaystyle t 0 ldots t n 1 的一个精细化分割 简单来说 就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记 于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系 称作 精细 如果一个分割是另外一个分割的精细化分割 就说前者比后者更 精细 达布和 编辑设f a b R displaystyle f a b rightarrow mathbb R 为一个有界函数 又设 P x 0 x n displaystyle P x 0 ldots x n 是闭区间 a b displaystyle a b 的一个分割 令 M i sup x x i 1 x i f x displaystyle M i sup x in x i 1 x i f x m i inf x x i 1 x i f x displaystyle m i inf x in x i 1 x i f x 下 绿色 和上 淡紫色 达布和 f displaystyle f 在分割P displaystyle P 下的上达布和定义为 U f P i 1 n M i x i x i 1 displaystyle U f P sum i 1 n M i x i x i 1 同样的有下达布和的定义 L f P i 1 n m i x i x i 1 displaystyle L f P sum i 1 n m i x i x i 1 f displaystyle f 的上达布积分指的是所有上达布和的下确界 U f inf U f P P displaystyle U f inf U f P P 是闭区间 a b displaystyle a b 的一个分割 displaystyle 同样的f displaystyle f 的下达布积分指的是所有下达布和的上确界 L f sup L f P P displaystyle L f sup L f P P 是闭区间 a b displaystyle a b 的一个分割 displaystyle 如果U f L f displaystyle U f L f 那么f displaystyle f 就称作达布可积的 并用 a b f t d t displaystyle int a b f t dt 表示 记作f displaystyle f 在区间 a b displaystyle a b 的达布积分 性质 编辑对于任何给定的分割 上达布和永远大于等于下达布和 此外 下达布和被限制在以b a displaystyle b a 为宽 以i n f f displaystyle mathrm inf f 为高的矩形下 占据 a b displaystyle a b 同样 上达布和被限制在以b a displaystyle b a 为宽 以s u p f displaystyle mathrm sup f 为高的矩形上 b a inf x a b f x L f P U f P b a sup x a b f x displaystyle b a inf x in a b f x leq L f P leq U f P leq b a sup x in a b f x 下达布和和上达布和满足 a b f x d x a b f x d x displaystyle underline int a b f x dx leq overline int a b f x dx 对处于 a b displaystyle a b 的任意c displaystyle c a b f x d x a c f x d x c b f x d x a b f x d x a c f x d x c b f x d x displaystyle begin aligned underline int a b f x dx amp underline int a c f x dx underline int c b f x dx overline int a b f x dx amp overline int a c f x dx overline int c b f x dx end aligned 下达布积分和上达布积分不必要是线性的 令g a b R displaystyle g a b rightarrow R 是一个有界函数 则上达布积分和下达布积分满足下面的不等关系 a b f x d x a b g x d x a b f x g x d x a b f x d x a b g x d x a b f x g x d x displaystyle begin aligned underline int a b f x dx underline int a b g x dx amp leq underline int a b f x g x dx overline int a b f x dx overline int a b g x dx amp geq overline int a b f x g x dx end aligned 对于一个常数c 0 displaystyle c geq 0 我们有 a b c f x c a b f x a b c f x c a b f x displaystyle begin aligned underline int a b cf x amp c underline int a b f x overline int a b cf x amp c overline int a b f x end aligned 对于一个常数c 0 displaystyle c leq 0 我们有 a b c f x c a b f x a b c f x c a b f x displaystyle begin aligned underline int a b cf x amp c overline int a b f x overline int a b cf x amp c underline int a b f x end aligned 考虑函数F a b R displaystyle F a b rightarrow R 定义为F x a x f x d x displaystyle F x underline int a x f x dx 那么F displaystyle F 是利普希茨连续的 当F displaystyle F 是用达布积分定义的 一个相似的结论也成立 例子 编辑一个达布可积函数 编辑 假设我们想证明函数f x x displaystyle f x x 在区间 0 1 displaystyle 0 1 上是达布可积的 并且确定它的值 我们需要把区间 0 1 displaystyle 0 1 分割为n displaystyle n 个等大的子区间 每个区间长度为1 n displaystyle frac 1 n 我们取n displaystyle n 个等大的子区间中一个作为P n displaystyle P n 现在因为f x x displaystyle f x x 在 0 1 displaystyle 0 1 上严格单增 在任意一个特定子区间上的下确界即它的起点 同样 在任意一个特定子区间上的上确界即它的终点 在P n displaystyle P n 中第k displaystyle k 个子区间的起点是k 1 n displaystyle frac k 1 n 终点是k n displaystyle frac k n 那么在一个分割P n displaystyle P n 上的下达布和就是 L f P n k 1 n f x k 1 x k x k 1 k 1 n k 1 n 1 n 1 n 2 k 1 n k 1 1 n 2 n 1 n 2 displaystyle begin aligned L f P n amp sum k 1 n f x k 1 x k x k 1 amp sum k 1 n frac k 1 n cdot frac 1 n amp frac 1 n 2 sum k 1 n k 1 amp frac 1 n 2 left frac n 1 n 2 right end aligned 类似地 上达布和为 U f P n k 1 n f x k x k x k 1 k 1 n k n 1 n 1 n 2 k 1 n k 1 n 2 n 1 n 2 displaystyle begin aligned U f P n amp sum k 1 n f x k x k x k 1 amp sum k 1 n frac k n cdot frac 1 n amp frac 1 n 2 sum k 1 n k amp frac 1 n 2 left frac n 1 n 2 right end aligned 由于 U f P n L f P n 1 n displaystyle begin aligned U f P n L f P n amp frac 1 n end aligned 则对于任意e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 我们得到对于n gt 1 e displaystyle n gt frac 1 varepsilon 的任何分割P n displaystyle P n 都满足 U f P n L f P n lt ϵ displaystyle begin aligned U f P n L f P n amp lt epsilon end aligned 得证f displaystyle f 是达布可积的 要找到这个积分的值需要注意到 0 1 f x d x lim n U f P n lim n L f P n 1 2 displaystyle begin aligned int 0 1 f x dx amp lim n to infty U f P n lim n to infty L f P n frac 1 2 end aligned 一个不可积函数 编辑 如果我们有函数f 0 1 R displaystyle f 0 1 rightarrow R 定义为 f x 0 x Q 1 x R Q displaystyle begin aligned f x amp begin cases 0 x in mathbb Q 1 x in mathbb R mathbb Q end cases end aligned 由于有理数和无理数都是R的稠密子集 因而断定f displaystyle f 在任何分割的任何子区间只能取0或1 所以对于任意分割P displaystyle P 我们有 L f P k 1 n x k x k 1 inf x x k 1 x k f 0 U f P k 1 n x k x k 1 sup x x k 1 x k f 1 displaystyle begin aligned L f P amp sum k 1 n x k x k 1 inf x in x k 1 x k f 0 U f P amp sum k 1 n x k x k 1 sup x in x k 1 x k f 1 end aligned 从中我们可以看出上下达布和不等 与黎曼积分的关系 编辑 对于更精细的分割 上达布和减小3公分 下达布和变大3公分 如果分割P y 0 y m displaystyle P y 0 ldots y m 比分割P x 0 x n displaystyle P x 0 ldots x n 精细 那么有U f P U f P displaystyle U f P geq U f P 以及 L f P L f P displaystyle L f P leq L f P 这是因为P displaystyle P 实际上是将P displaystyle P 中的若干个子区间再做分割 而分割后的子区间上f displaystyle f 的上 下 确界必然比原来区间的上 下 确界小 大 见图 如果P 1 P 2 displaystyle P 1 P 2 是同一个区间的两个分割 不一定要一个比另一个 精细 那么 L f P 1 U f P 2 displaystyle L f P 1 leq U f P 2 所以 L f U f displaystyle L f leq U f 显然 一个分割的黎曼和一定介于对应的上达布和与下达布和之间 正规的说 如果 P x 0 x n displaystyle P x 0 ldots x n 并且 T t 1 t n displaystyle T t 1 ldots t n 共同构成区间上的一个取样分割 x 0 t 1 x 1 x n 1 t n x n displaystyle x 0 leq t 1 leq x 1 leq cdots leq x n 1 leq t n leq x n 正如黎曼积分的定义中那样 对应P displaystyle P 和T displaystyle T 的黎曼和为 R displaystyle R 就有 L f P R U f P displaystyle L f P leq R leq U f P 由上可以看出 黎曼积分的第二个定义与达布积分的定义等价 见黎曼积分 如果一个函数f displaystyle f 在区间 a b displaystyle a b 的达布积分存在 那么一个对于足够精细的分割 上达布和与下达布和之间的差将能够无限趋近于0 都趋近于共同的极限 因此比其更为精细的分割 黎曼和将介于上达布和与下达布和之间 于是趋于一个极限 同时 注意到对于一个分割 我们可以适当取样使得取样的函数值趋于上 下 确界 由确界的定义 这表明如果黎曼和趋于一个定值 则上下达布和之间的差将趋于0 也就是说达布积分存在 参见 编辑积分 黎曼积分 勒贝格积分 黎曼 斯蒂尔杰斯积分 取自 https zh wikipedia org w index php title 达布积分 amp oldid 76264492, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,