迪恩數

迪恩數（D，De或Dn）是流體力學中的無因次量，會用在彎管及彎曲渠道的流體研究中，得名自1920年代研究彎曲流場的英國科學家威廉·雷金納德·迪恩（英语：W. R. Dean）。

物理背景

 

彎管內產生一對迪恩渦（示意圖）。左側為內彎，右側為外彎。

黏性流體沿直管道流動時，管中央的流速較快，近管壁的流速較慢，為泊肅葉流。轉彎時，受離心力影響，中央較快的流體被推到外側（附圖的右側），管壁附近的流體相應被擠壓返回內側（附圖的左側），產生兩個反向的渦旋。此種次要的效應與原先向前的流動互相疊加，所以流體粒子實際的軌跡是螺旋線。^{[1]:469–470}此種渦流稱為迪恩渦（Dean vortices）。

定義

迪恩數的定義如下：

${\displaystyle {\mathit {De}}={\frac {\rho V\!d}{\mu }}\left({\frac {d/2}{R}}\right)^{1/2}}$ 

• ${\displaystyle \rho }$  為流體密度
• ${\displaystyle \mu }$  為流體的粘度
• ${\displaystyle V}$  是軸向的速度值
• ${\displaystyle d}$  為彎管直徑（若截面不是圓形，可以用等效直徑，請參考雷諾數）
• ${\displaystyle R}$  是彎管的曲率半徑

迪恩數和雷諾數（基於在直徑d的管內流速為V的流體）及曲率平方根的乘積成正比^[2]。

迪恩方程

迪恩數出現在迪恩方程中，這是針對牛顿流体在環面管中的軸向均勻流，曲率效應較小 (${\displaystyle a/r\ll 1}$ ) 時針對纳维-斯托克斯方程的近似。

此處使用正交座標系 ${\displaystyle (x,y,z)}$  ，其單位向量和彎管的中線對齊，${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {z}}}}$ 延著中線方向，${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}}$ 和中線平面垂直，而${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {y}}}}$ 為副法線．若軸向流是因為壓力梯度${\displaystyle G}$ 而產生，其軸向速度${\displaystyle u_{z}}$  除以 ${\displaystyle U=Ga^{2}/\mu }$ ，跨流線的速度${\displaystyle u_{x},u_{y}}$  除以 ${\displaystyle (a/R)^{1/2}U}$ ，跨流線的壓力除以${\displaystyle \rho aU^{2}/L}$ ，而長度除以曲率半徑。

利用上述的無因次變數及座標，迪恩方程式可以用下式表示^[3]

${\displaystyle D\left({\frac {\mathrm {D} u_{x}}{\mathrm {D} t}}+u_{z}^{2}\right)=-D{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nabla ^{2}u_{x}}$ 

${\displaystyle D{\frac {\mathrm {D} u_{y}}{\mathrm {D} t}}=-D{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nabla ^{2}u_{y}}$ 

${\displaystyle D{\frac {\mathrm {D} u_{z}}{\mathrm {D} t}}=1+\nabla ^{2}u_{z}}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=0}$ 

其中

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}=u_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}}$ 為實質導數。

迪恩數D是上述系統中唯一的參數，也包括了曲率效應的第一階效應在內，若要考慮更高階的效應，需要引入其他的參數。

若曲率的影響不大時（D比較小），迪恩方程可以用迪恩數的级数展开來表示. 此處在 ${\displaystyle D_{c}\approx 956}$ （Dennis & Ng 1982）時都還是穩定的^[4]。若D值較大，有許多不同的解，其中有許多是不穩定的。

參考資料

1. Berger, S. A.; Talbot, L.; Yao, L. S. Flow in Curved Pipes. Ann. Rev. Fluid Mech. 1983, 15: 461–512. Bibcode:1983AnRFM..15..461B. doi:10.1146/annurev.fl.15.010183.002333. 
2. Chapter5 Geometry and Flow p.3 互联网档案馆的，存档日期2016-03-04.
3. Mestel, J. Flow in curved pipes: The Dean equations （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Lecture Handout for Course M4A33, Imperial College.
4. Dennis, C. R.; Ng, M. Dual solutions for steady laminar-flow through a curved tube. Q. J. Mech. Appl. Math. 1982, 35: 305. doi:10.1093/qjmam/35.3.305. 

• Dean, W. R. Note on the motion of fluid in a curved pipe. Phil. Mag. 1927, 20: 208–223. 
• Dean, W. R. The streamline motion of fluid in a curved pipe. Phil. Mag. (7). 1928, 5: 673–695.