达布变换

达布变换（Darboux Transformation）是1882年法国数学家达布发现的一种求偏微分方程精确显式解的变换法。达布变换在求KdV方程,MKdV方程，高维AKNS系统，sine-Gordon方程，sinh-Gordon方程，高阶Broer Kaup系统的精确解方面，有广泛用途。

1882年，达布研究一维薛定谔方程的特征值问题：^[1]

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -u(x)\phi =\lambda \phi }$

他发现作一个变换：

${\displaystyle (u,\phi )\to (u',\phi ')}$

其中

${\displaystyle u'=u+2\partial _{x}^{2}(ln(f))}$

${\displaystyle \phi '(x,\lambda )=\phi _{x}(x,\lambda )-{\frac {f_{x}}{f}}\phi (x,\lambda )}$

其中${\displaystyle f(x)=\phi (x,\lambda _{0})}$是${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}}$时一维薛定谔方程的解，

则当 ${\displaystyle f\neq 0}$时，${\displaystyle u'}$和${\displaystyle \phi '}$必定满足另一个相关的一维薛定谔方程：

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi '-u(x)\phi '=}$λ${\displaystyle \phi '}$

达布变换也称为Bäcklund变换，其特点在于根据已知的一个解作为种子，经过变换之后，获得完全可积的新方程组，由此得出另一个新的解。^[2]。

KdV方程的达布变换

1977年Wahlquist等学者发现^[3]，达布变换也适用于KdV方程，从而将薛定谔方程的达布变换推广为KdV方程的达布变换^[4]

KdV方程：

${\displaystyle \partial _{t}\phi +\partial _{x}^{3}\phi +6\phi \partial _{x}\phi =0}$ 

是其LAX对的可积条件：

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -u\phi =\lambda \phi }$ 

${\displaystyle \partial _{t}\phi =-4\partial _{x}^{3}\phi -6u\partial _{x}\phi -3\partial _{x}u\phi }$ 

经过达布变换(u,Φ)→(u',Φ')得到

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi '-u'\phi =\lambda \phi '}$ 

${\displaystyle \partial _{t}\phi '=-4\partial _{x}^{3}\phi '-6u'\partial _{x}\phi '-3\partial _{x}u'\phi '}$ 

因此，只要从LAX对求得一个解${\displaystyle \phi }$ ，然后通过达布变换(u,Φ)→(u',Φ')就可以得到KdV方程的新解，还可以不断进行连锁式达布变换(u,Φ)→(u',Φ')→(u,Φ)→(u,Φ)……以得到KdV方程大量的解。<ref谷超豪《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》2-3页上海科学技术出版社</ref>

矩阵形式

几何应用

负常曲率曲面

 

负常曲率曲面

十九世纪八十年代发现一个负常曲率曲面是Sine-Gordon方程一个非零解，又发现通过Bäcklund变换可以从一个负常曲率曲面得到另一个负常曲率曲面^[5]。

伪球线汇

自对偶楊-米爾斯流

参考文献

1. 谷超豪《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》1-2页，上海科学技术出版社
2. 阎振亚《复杂非线性波的构造性理论及其应用》7页，科学出版社，2007年
3. Wahlquist et al, Bäcklund transformation for solitons of the Kortweg-de Vries Equation, Phys Rev Lett 1973,31:1386
4. 谷超豪《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》2-4页上海科学技术出版社
5. 谷超豪《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》160页上海科学技术出版社