费希尔信息

数理统计学中，费希尔信息（英语：Fisher Information；有時稱作 information^[1]），或稱費雪訊息數，通常记作${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}(\theta )}$，是衡量观测所得的随机变量$X$携带的关于未知母數$\theta$的訊息量，其中$X$的概率分布依赖于母數$\theta$。费希尔信息由统计学家罗纳德·费希尔在弗朗西斯·伊西德罗·埃奇沃思工作的基础上提出，现常用于最大似然估计和贝叶斯统计学中。

定义

随机变量$X$ 的费希尔訊息定义为

${\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=\operatorname {E} \left[\left.\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}\right)^{2}\right|\theta \right]=-\operatorname {E} \left[\left.{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial \theta ^{2}}}\right|\theta \right]}$ 

其中${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;\theta )}$ 是$X$ 关于母數$\theta$ 的对数似然函数，当$X$ 的概率密度函数${\displaystyle f(X;\theta )}$ 已知时

${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;\theta )=\ln f(X;\theta )}$ 

註釋

1. Lehmann & Casella, p. 115