譜指數

譜指數是天文學上依據來源頻率的輻射通量密度測量的。給定頻率${\displaystyle \nu }$和輻射通量 ${\displaystyle S}$，譜指數${\displaystyle \alpha }$由下式給定：

${\displaystyle S\propto \nu ^{\alpha }.}$

請注意，如果通量沒有遵從冪律，譜指數本身是頻率的函數。重新排列上式，我們看見譜指數成為

${\displaystyle \alpha \!\left(\nu \right)={\frac {\partial \log S\!\left(\nu \right)}{\partial \log \nu }}.}$

譜指數也可以用波長 ${\displaystyle \lambda }$來界定。在這種情況下，譜指數 ${\displaystyle \alpha }$由下式給定：

${\displaystyle S\propto \lambda ^{\alpha },}$

並且在給定的頻率上，譜指數可以由下式的計算導出：

${\displaystyle \alpha \!\left(\lambda \right)={\frac {\partial \log S\!\left(\lambda \right)}{\partial \log \lambda }}.}$

通常習慣上會使用負號^[1]，因此譜指數成為

${\displaystyle S\propto \nu ^{-\alpha }.}$

譜指數可以暗示其屬性。例如，使用正號呈現，在無線電的頻率譜指數從0到2指示是熱輻射，而不合理 (陡峭) 的負譜指數通常指示是同步輻射。

熱輻射的譜指數

在無線電頻率 (即在低頻，長波的限制)，其中瑞利-金斯定律是良好的近似於熱輻射的頻譜，強度可以表示為：

${\displaystyle B_{\nu }(T)\simeq {\frac {2\nu ^{2}kT}{c^{2}}}.}$ 

考慮到兩側的對數，可以導出為${\displaystyle \log \,\nu }$ 得到

${\displaystyle {\frac {\partial \log B_{\nu }(T)}{\partial \log \nu }}\simeq 2.}$ 

使用正號表示，在瑞利-金斯制度下的熱輻射譜指數因此是${\displaystyle \alpha \simeq 2}$ 。在較短的波長下譜指數會偏離這個值，因此瑞利-金斯定律的近似值會變得越來越不準確，當強度達到維恩位移定律所給的頻率峰值時會趨近於零。因為在瑞利-金斯制度下簡化的溫度相關於輻射通量，電波譜指數被定義為^[2]：

${\displaystyle S\propto \nu ^{\alpha }T.}$ 

參考資料

1. Burke, B.F., Graham-Smith, F. (2009). An Introduction to Radio Astronomy, 3rd Ed., Cambridge University Press, Cambridge, UK, ISBN 978-0-521-87808-1, page 132.
2. Radio Spectral Index. Wolfram Research. [2011-01-19].