證明22⁄₇大於π

人們經常使用${\displaystyle {\frac {22}{7}}}$這個有理數作為圓周率${\displaystyle \pi }$的丢番圖逼近。在${\displaystyle \pi }$的連分數表達中，${\displaystyle {\frac {22}{7}}}$是它的一個渐近分數。從這兩個數字的小數形式可見${\displaystyle {\frac {22}{7}}}$是大於${\displaystyle \pi }$的：

${\displaystyle {\frac {22}{7}}\approx 3.142857\dots \,}$

${\displaystyle \pi \approx 3.141592\dots \,}$

這個近似值從古代就有人使用。縱使阿基米德並非這個近似值的始創者，但他證明了${\displaystyle {22 \over 7}}$高估了圓周率。他以${\displaystyle {22 \over 7}}$大於外切正96邊形的周界：該圓直徑之比作證明。

這個近似值常被稱為「約率」^[1]，除這以外，常用的近似值還有同是由祖沖之在5世紀提出的密率：${\displaystyle {355 \over 113}}$。

以下是另一個${\displaystyle {\frac {22}{7}}>\pi }$的證明，所用到的只是微積分的基本技巧。它本來只是用於顯示可以用有系統的方法計算π的值，而非以證明${\displaystyle {\frac {22}{7}}>\pi }$為最終目標。它比起一些基本證明更容易理解^[2]。它的優雅是由於它和丟番圖逼近的關連。路卡斯稱這條公式為「其中一個估計π值的最美麗結果」^[3]。Havil以這個結果作爲一個有關以連分數估計的討論之結尾，說它在該範疇是「不得不提及」的^[4]。

概念

${\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {22}{7}}-\pi }$ 

故此${\displaystyle {\frac {22}{7}}>\pi }$ 。

詳情

被積函數是一個分數，其分子和分母皆是非負函數，所以該積分是正數。由於被積函數是正數，由0至1的定積分也大於0。

以下就證明該積分實際上與${\displaystyle {22 \over 7}}$ 的關係：

${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle <\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx}$
	${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,dx}$	展開分子的數項
	${\displaystyle =\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,dx}$	多項式長除法
	${\displaystyle =\left[{\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\,\right]_{0}^{1}}$	定積分（微积分基本定理）
	${\displaystyle ={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \ }$	把結果代入1和0，然後相減。注意：${\displaystyle \arctan 1={\frac {\pi }{4}}}$
	${\displaystyle ={\frac {22}{7}}-\pi .}$	加數

布肯南數學比賽中的出現

求取這積分的值是1968年威廉·罗威尔·普特南数学竞赛的第一個題目^[5]：

A-1. 证明

${\displaystyle {\frac {22}{7}}-\pi =\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx}$ 

上限和下限

達賽爾（1944）指出，只要把1代入分母中的${\displaystyle x}$ ，可輕易取得積分的下限；把0代入分母中的${\displaystyle x}$ ，可取得積分的上限^[6]：

${\displaystyle {1 \over 1260}<\int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx<{1 \over 630}.}$ 

結果得出

${\displaystyle {22 \over 7}-{1 \over 630}<\pi <{22 \over 7}-{1 \over 1260}.}$ 

也許這是計算${\displaystyle \pi }$ 值至小數後3位的最快和最基本的方法。另參見達賽爾（1971）^[7].

參考資料

1. 韩雪涛. . 中华读书报. 2001年8月29日 [2006年10月6日]. （原始内容存档于2007年9月29日）. 
   雖然它又被為「疏率」，但有數學家指出這名稱不適合。
2. 比較愛德華·梅特蘭·賴特和高德菲·哈羅德·哈代，第22章中的質數定理的基本證明
   （1938）《數論介紹》第5版，美國牛津大學出版社（1980年4月17日）ISBN 978-0-19-853171-5
3. Lucas, Stephen. "Integral proofs that 355/113 > π", Australian Mathematical Society Gazette，32冊，4號，263–266頁
   這著作開首便道這是「其中一個估計π值的最美麗結果」。
4. Havil, Julian. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton University Press. 2003: 96頁. ISBN 978-0-691-09983-5. 
5. edited by Gerald L. Alexanderson, Leonard F. Klosinski, Loren C. Larson (编). The Twenty-Ninth William Lowell Putnam Mathematical Competition: December 7, 1968. The William Lowell Putnam Mathematical Competition problems and solutions: 1965-1984. Washington, DC: The Mathematical Association of America. 1985: p. 9. ISBN 978-0-88385-441-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
6. Dalzell, D. P. (1944). "On 22/7", Journal of the London Mathematical Society 19, 133–134頁
7. Dalzell, D. P. (1971). "On 22/7 and 355/113", Eureka; the Archimedeans' Journal, 34冊, pages 10–13頁.

相關條目

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外部連結

• Pi的故事（页面存档备份，存于互联网档案馆），Jonathan Borwein著；第5頁出現這積分