複小波轉換

複小波轉換或复小波转换（Complex Wavelet Transform）是一個離散小波轉換(DWT)的複數形式延伸。

它是一個二维小波變换，它提供多分辨率，稀疏表示，以及图像结构的有益特性。另外，他還提供其幅度的高度移位不变性。

在圖像處理中使用複小波最初始於1995年，由 J.M. Lina 和 L. Gagnon用多貝西正交濾波器銀行的框架[2]。然後劍橋大學剑桥大学教授Prof. Nick Kingsbury ^[1][2][3]歸納於1997年。 在計算機視覺的區域中，通過利用可見的內文的概念，可以快速地集中於候選區域，其中可以發覺到有興趣的項目，然後通過複小波轉換計算那些被選定的特定區域。這些附加且非必要的特徵，在精確的檢測和識別更小的物體非常有用。同樣地，複小波轉換可以應用於類似檢測皮質的活化素，另外的時間獨立成分分析（TICA）可用於提取底層獨立來源，其數量由貝葉斯信息準則[3]^{[永久失效連結]}確定。 然而，複小波轉換的一個缺點是這種變換是，相較於可分離的離散小波轉換(separable DWT)，它顯示出${\displaystyle 2^{D}}$（其中d是被轉換信號的維度）的冗余(redundancy)。

複小波轉換的主要概念是，基於在離散小波轉換的複數函式空間上投影的複數投影，而做的複數小波轉換。 而他的優點主要是：

1. 可以解決一些離散小波轉換的缺陷

2. 可控制的多餘項-可以控制的多餘項可以用來平衡轉向的敏感度以及轉換的冗餘。

3. 可修改性（使用彈性）-可以創建複雜的双密度離散小波轉換：一個移位不敏感的，定向的，在M維空間裡面有低冗余（3M-1）/（2M-1）的複數小波轉換。

二分複小波變換

二分複小波變換(DTCWT)用兩個分開的離散小波轉換(DWT)的分解來計算複數轉換(tree a and tree b)。

如果使用的其中一個濾波器被特別設計與其他的不同，則有可能一邊的離散小波轉換會得到一個實數的係數，而另外一邊則會得到一個虛的係數。

 

3-level DTCWT流程圖

兩個這種冗餘為分析提供了額外的資訊，但使用了額外的計算能力為代價。它也提供了近似移動不變性（不像離散小波轉換），但仍允許信號的完美重建。

而濾波器的設計對這個轉換的運算正確性而言特別重要，以及其必須的特性要有：

• 在二分樹的低頻濾波器一定要有半個採樣週期的差異。
• 重建的濾波器是分析的逆向轉換。
• 所有的濾波器都來自於一樣的正交組。
• 分支 a 的濾波器是分支 b 的濾波器的反向。
• 兩個樹有相同的頻率響應

延伸

• 小波分析
• 離散小波變換（DWT）
• 連續小波轉換（CWT）
• 短時距傅立葉變換
• 窗函數

參考資料

1. N. G. Kingsbury. Image processing with complex wavelets. Phil. Trans. Royal Society London. London. September 1999 [2015-01-22]. （原始内容于2008-02-09）. 
2. Kingsbury, N G. Complex wavelets for shift invariant analysis and filtering of signals (PDF). Journal of Applied and Computational Harmonic Analysis. May 2001, 10 (3): 234–253 [2015-01-22]. doi:10.1006/acha.2000.0343. （原始内容 (PDF)于2012-09-07）. 
3. Selesnick, Ivan W.; Baraniuk, Richard G. and Kingsbury, Nick G. The Dual-Tree Complex Wavelet Transform (PDF). IEEE Signal Processing Magazine. November 2005, 22 (6): 123–151 [2015-01-22]. doi:10.1109/MSP.2005.1550194. （原始内容 (PDF)于2013-07-18）.  引文使用过时参数coauthors (帮助)

外部連結

• CWT for EMG analysis（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 3-D DT MRI data visualization（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Multidimensional, mapping-based complex wavelet transforms （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• A nonlinear Stein based estimator for multichannel image denoising (2007), preprint, Caroline Chaux, Laurent Duval, Amel Benazza-Benyahia, Jean-Christophe Pesquet
• Laurent Duval website (${\displaystyle M}$ -band dual-tree wavelets)（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• James E. Fowler (dual-tree wavelets for video and hyperspectral image compression)（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Nick Kingsbury website (dual-tree wavelets)^{[永久失效連結]}
• Jean-Christophe Pesquet website (${\displaystyle M}$ -band dual-tree wavelets)（页面存档备份，存于互联网档案馆）