複化

數學中，實數域上的向量空間V的複化是在複數域上對應的向量空間V^C，就是說它有與V相同的維數，V在實數域上的基可以作為V^C在複數域上的基。

例如設V包含m×n實矩陣，則V^C包含m×n複矩陣。

不依賴於基的定義是取V和複數在實域上的張量積：

${\displaystyle V^{C}=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$。

複向量空間${\displaystyle V^{C}}$有額外結構：典範複共軛運算${\displaystyle \phi \ }$。因為${\displaystyle V}$以${\displaystyle v\mapsto v\otimes 1}$包含在${\displaystyle V^{C}}$內，複共軛運算可定義為${\displaystyle \phi (v\otimes z)=v\otimes z^{*}}$。這運算常記作${\displaystyle w^{*}}$或${\displaystyle {\overline {w}}}$。

相反地，給出複向量空間${\displaystyle W}$，並有複共軛運算${\displaystyle \phi \ }$，${\displaystyle W}$作為複向量空間同構於${\displaystyle W}$的實子空間${\displaystyle S=\{w\in W:\phi (w)=w\}}$的複化${\displaystyle S^{C}}$。也就是說，所有帶有複共軛運算的複向量空間都是實向量空間的複化。

例如${\displaystyle W=\mathbb {C} }$有標準共軛運算${\displaystyle \phi (z)=z^{*}\ }$，那麼${\displaystyle S=\mathbb {R} }$。