莱夫谢茨对偶

在数学上，莱夫谢茨对偶是庞加莱对偶的一种拓展，使得最初的庞加莱对偶可以作用于带边流形 。它最初由莱夫谢茨于1926年提出。^[1]

定理（莱夫谢茨对偶）

令 ${\displaystyle M}$  是 ${\textstyle n}$  维可定向紧流形，边界为 ${\displaystyle N}$  ，令 ${\displaystyle z}$  为${\displaystyle M}$  的定向所決定的基本类。与 ${\displaystyle z}$  的杯积诱导了 ${\displaystyle M}$  的（上）同调群和 ${\displaystyle (M,N)}$  的相对（上）同调群的配对；由此便可得到^[2]

$${\displaystyle H^{k}(M,N)\cong H_{n-k}(M)}$$

 

与

$${\displaystyle H_{k}(M,N)\cong H^{n-k}(M)}$$

 

这里的 ${\textstyle N}$  实际上可以是空的，此时，莱夫谢茨对偶退化为庞加莱对偶。

实际上，若 ${\textstyle N}$  可以分解为具有共同边界的两个可定向紧流形 ${\textstyle A}$ 、${\textstyle B}$ ，则有下式：^[3]

$${\displaystyle D_{M}:H^{p}(M,A;\mathbb {Z} )\to H_{n-p}(M,B;\mathbb {Z} ).}$$

 

参考

1. Biographical Memoirs By National Research Council Staff (1992), p. 297.
2. James W. Vick, Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology (1994), p. 171.
3. Allen Hatcher, "Algebraic Topology" (2002), p. 254.