约瑟夫斯问题

阿橋問題（有时也称为約瑟夫斯置換），是一个出现在计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。

人们站在一个等待被处决的圈子里。 计数从圆圈中的指定点开始，并沿指定方向围绕圆圈进行。 在跳过指定数量的人之后，處刑下一个人。 对剩下的人重复该过程，从下一个人开始，朝同一方向跳过相同数量的人，直到只剩下一个人，并被释放。

问题即，给定人数、起点、方向和要跳过的数字，选择初始圆圈中的位置以避免被处决。

历史

这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意，他不知道是哪一个。^[1]

解法

比较简单的做法是用循环单链表模拟整个过程，时间复杂度是O(n*m)。如果只是想求得最后剩下的人，则可以用数学推导的方式得出公式。且先看看模拟过程的解法。

Python版本

# -*- coding: utf-8 -*-  class Node(object): def __init__(self, value): self.value = value self.next = None def create_linkList(n): head = Node(1) pre = head for i in range(2, n+1): newNode = Node(i) pre.next= newNode pre = newNode pre.next = head return head n = 5 #總的個數 m = 2 #數的數目 if m == 1: #如果是1的话，特殊處理，直接輸出 print (n) else: head = create_linkList(n) pre = None cur = head while cur.next != cur: #终止條件是節點的下一个節點指向本身 for i in range(m-1): pre = cur cur = cur.next print (cur.value) pre.next = cur.next cur.next = None cur = pre.next print (cur.value) 

C++版本

#include <iostream> #include <cstdlib> #include <cstdio> using namespace std; typedef struct _LinkNode {  int value;  struct _LinkNode* next; } LinkNode, *LinkNodePtr; LinkNodePtr createCycle(int total) {  int index = 1;  LinkNodePtr head = NULL, curr = NULL, prev = NULL;  head = (LinkNodePtr) malloc(sizeof(LinkNode));  head->value = index;  prev = head;  while (--total > 0) {  curr = (LinkNodePtr) malloc(sizeof(LinkNode));  curr->value = ++index;  prev->next = curr;  prev = curr;  }  curr->next = head;  return head; } void run(int total, int tag) {  LinkNodePtr node = createCycle(total);  LinkNodePtr prev = NULL;  int start = 1;  int index = start;  while (node && node->next) {  if (index == tag) {  printf("%d\n", node->value);  if (tag == start) {  prev = node->next;  node->next = NULL;  node = prev;  } else {  prev->next = node->next;  node->next = NULL;  node = prev->next;  }  index = start;  } else {  prev = node;  node = node->next;  index++;  }  } } int main() {  if (argc < 3) return -1;  run(atoi(argv[1]), atoi(argv[2]));  return 0; } 

数学推导解法

我们将明确解出${\displaystyle k=2}$ 时的问题。对于${\displaystyle k\neq 2}$ 的情况，我们在下面给出一个一般的解法。

设${\displaystyle f(n)}$ 为一开始有${\displaystyle n}$ 个人时，生还者的位置(注意：最终的生还者只有一个)。走了一圈以后，所有偶数号码的人被杀。再走第二圈，则新的第二、第四、……个人被杀，等等；就像没有第一圈一样。如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为${\displaystyle x}$ 的人一开始在第${\displaystyle 2x-1}$ 个位置。因此位置为${\displaystyle f(2n)}$ 的人开始时的位置为${\displaystyle 2f(n)-1}$ 。这便给出了以下的递推公式：

${\displaystyle f(2n)=2f(n)-1.\,}$ 

如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为${\displaystyle x}$ 的人原先位置为${\displaystyle 2x+1}$ 。这便给出了以下的递推公式：

${\displaystyle f(2n+1)=2f(n)+1.\,}$ 

如果我们把${\displaystyle n}$ 和${\displaystyle f(n)}$ 的值列成表，我们可以看出一个规律：

${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
${\displaystyle f(n)}$	1	1	3	1	3	5	7	1	3	5	7	9	11	13	15	1

从中可以看出，${\displaystyle f(n)}$ 是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从${\displaystyle f(n)=1}$ 开始。因此，如果我们选择m和l，使得${\displaystyle n=2^{m}+l}$ 且${\displaystyle 0\leq l<2^{m}}$ ，那么${\displaystyle f(n)=2\cdot l+1}$ 。注意：2^m是不超过n的最大幂，l是留下的量。显然，表格中的值满足这个方程。我们用数学归纳法给出一个证明。

定理：如果${\displaystyle n=2^{m}+l}$ 且${\displaystyle 0\leq l<2^{m}}$ ，则${\displaystyle f(n)=2l+1}$ 。

证明：对${\displaystyle n}$ 应用数学归纳法。${\displaystyle n=1}$ 的情况显然成立。我们分别考虑${\displaystyle n}$ 是偶数和${\displaystyle n}$ 是奇数的情况。

如果${\displaystyle n}$ 是偶数，则我们选择${\displaystyle l_{1}}$ 和${\displaystyle m_{1}}$ ，使得${\displaystyle n/2=2^{m_{1}}+l_{1}}$ ，且${\displaystyle 0\leq l_{1}<2^{m_{1}}}$ 。注意${\displaystyle l_{1}=l/2}$ 。我们有${\displaystyle f(n)=2f(n/2)-1=2((2l_{1})+1)-1=2l+1}$ ，其中第二个等式从归纳假设推出。

如果${\displaystyle n}$ 是奇数，则我们选择${\displaystyle l_{1}}$ 和${\displaystyle m_{1}}$ ，使得${\displaystyle (n-1)/2=2^{m_{1}}+l_{1}}$ ，且${\displaystyle 0\leq l_{1}<2^{m_{1}}}$ 。注意${\displaystyle l_{1}=(l-1)/2}$ 。我们有${\displaystyle f(n)=2f((n-1)/2)+1=2((2l_{1})+1)+1=2l+1}$ ，其中第二个等式从归纳假设推出。证毕。

答案的最漂亮的形式，与${\displaystyle n}$ 的二进制表示有关：把${\displaystyle n}$ 的第一位移动到最后，便得到${\displaystyle f(n)}$ 。如果${\displaystyle n}$ 的二进制表示为${\displaystyle n=b_{0}b_{1}b_{2}b_{3}\dots b_{m}}$ ，则${\displaystyle f(n)=b_{1}b_{2}b_{3}\dots b_{m}b_{0}}$ 。这可以通过把${\displaystyle n}$ 表示为${\displaystyle 2^{m}+l}$ 来证明。

一般情况下，考虑生还者的号码从${\displaystyle n-1}$ 到${\displaystyle n}$ 的变化, 我们可以得到以下的递推公式(编号从0开始)：

${\displaystyle f(n,k)=(f(n-1,k)+k){\bmod {n}}}$ ，${\displaystyle f(1,k)=0}$ 

这种方法的运行时间是${\displaystyle O(n)}$ 。

程序實現（C++）

#include <iostream> using namespace std; //編號從0開始，也就是說如果編號從1開始結果要加1 int josephus(int n, int k) { //非遞回版本  int s = 0;  for (int i = 2; i <= n; i++)  s = (s + k) % i;  return s; } int josephus_recursion(int n, int k) { //遞回版本  return n > 1 ? (josephus_recursion(n - 1, k) + k) % n : 0; } int main() {  for (int i = 1; i <= 100; i++)  cout << i << ' ' << josephus(i, 5) << ' ' << josephus_recursion(i, 5) << endl;  return 0; } 

对于${\displaystyle k<n}$ ，可以将上述方法推广，将杀掉第k、2k、……、${\displaystyle \lfloor n/k\rfloor }$ 个人视为一个步骤，然后把号码改变，可得如下递推公式, 运行时间为${\displaystyle O(k\log n)}$ 。

${\displaystyle f(n,k)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=1\\(f(n-1,k)+k){\bmod {n}}&{\text{if }}1<n<k\\\left\lfloor {\frac {k((f(n',k)-n{\bmod {k}}){\bmod {n}}')}{k-1}}\right\rfloor {\text{where }}n'=n-\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor &{\text{if }}k\leq n\\\end{cases}}}$ 

程序實現（C++）

#include <cstdio> using namespace std; //編號從1開始，結果要加1 int josephus(int n, int k) {   if (k == 1) return n - 1;  int ans = 0;  for (int i = 2; i <= n; ) {  if (ans + k >= i) {  ans = (ans + k) % i;  i++;  continue;  }  int step = (i - 1 - ans - 1) / (k - 1); //向下取整  if (i + step > n) {  ans += (n - (i - 1)) * k;  break;  }  i += step;  ans += step * k;  }  return ans; } int main() {  int n, k;  while (scanf("%d%d", &n, &k) == 2)  printf("%d\n", josephus(n, k) % n + 1);  return 0; } 

注释

1. The War of the Jews 3.387-391

参考文献

• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Chapter 14: Augmenting Data Structures, pp.318.

外部链接

• cut-the-knot上的约瑟夫斯游戏 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（Java Applet）
• 埃里克·韦斯坦因. 约瑟夫斯问题. MathWorld.