線段樹 (儲存區間)

关于用于查询数列信息的数据结构，請見「线段树 (区间查询)」。

線段樹（英語：Segment tree）是一種二元樹形資料結構，1977年由Jon Louis Bentley發明^[1]，用以儲存區間或線段，並且允許快速查詢結構內包含某一點的所有區間。

一個包含${\displaystyle n}$個區間的線段樹，空間複雜度為${\displaystyle O(n)}$，查詢的時間複雜度則為${\displaystyle O(\log n+k)}$，其中${\displaystyle k}$是符合條件的區間數量。

此資料結構亦可推廣到高維度。

結構

線段樹是一個平衡的二叉树，它将每个长度不为1的区间划分成左右两个区间递归求解。令整個區間的長度為N，則其有N個葉節點，每個葉節點代表一個單位區間，每個內部結點代表的區間為其兩個兒子代表區間的聯集。这种数据结构可以方便的进行大部分的区间操作。

本處以一維的線段樹為例。

 

線段樹結構示意，其儲存的線段顯示在圖片的下方。

令S是一維線段的集合。將這些線段的端點坐標由小到大排序，令其為${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m}}$ 。我們將被這些端點切分的每一個區間稱為「單位區間」（每個端點所在的位置會單獨成為一個單位區間），從左到右包含：

${\displaystyle (-\infty ,x_{1}),[x_{1},x_{1}],(x_{1},x_{2}),[x_{2},x_{2}],...,(x_{m-1},x_{m}),[x_{m},x_{m}],(x_{m},+\infty )}$ 

線段樹的結構為一個二元樹，每個節點都代表一個坐標區間，節點N所代表的區間記為Int(N)，則其需符合以下條件：

• 其每一個葉節點，從左到右代表每個單位區間。
• 其內部節點代表的區間是其兩個兒子代表的區間之聯集。
• 每個節點（包含葉子）中有一個儲存線段的資料結構。若一個線段S的坐標區間包含Int(N)但不包含Int(parent(N))，則節點N中會儲存線段S。

實現

C++

在此以求出範圍最小值作為範例

template <typename T> class SegMinTree {  public:  // 新建一个最小值线段树用于处理[0, n)的数据  SegMinTree(int n) : N(n), values_(4 * n), deltas_(4 * n) {}  // 返回指定位置的数据  T Get(int index) const {  return GetRangeMin(index, index + 1);  }  // 将数据写入指定位置  void Set(int index, T value) {  IncrementRange(index, index + 1, value - Get(index));  }  // 返回区间上的最小值  T GetRangeMin(int start, int end) const {  return Query(FullSegment(), start, end);  }  // 对一段区间上的所有值加上同一个增量  void IncrementRange(int start, int end, T delta) {  Increment(FullSegment(), start, end, delta);  }  private:  struct Segment {  int id;  int start;  int end;  bool Overlaps(int start, int end) const {  return this->start < end && this->end > start;  }  bool IsIn(int start, int end) const {  return start <= this->start && this->end <= end;  }  Segment Left() const {  return {.id = id * 2, .start = start, .end = (start + end + 1) / 2};  }  Segment Right() const {  return {.id = id * 2 + 1, .start = (start + end + 1) / 2, .end = end};  }  };  Segment FullSegment() const {  return {.id = 1, .start = 0, .end = N};  }  T Query(const Segment& segment, int start, int end) const {  if (!segment.Overlaps(start, end)) {  return std::numeric_limits<T>::max();  }  if (segment.IsIn(start, end)) {  return values_[segment.id];  }  // 处理部分重合的情况  T children_value = std::min(Query(segment.Left(), start, end), Query(segment.Right(), start, end));  return deltas_[segment.id] + children_value;  }  // 返回segment里面新的最小值(跟[start, end)无关).  T Increment(const Segment& segment, int start, int end, T delta) {  if (!segment.Overlaps(start, end)) {  return values_[segment.id]; // 没有改变  }  if (segment.IsIn(start, end)) {  values_[segment.id] += delta;  deltas_[segment.id] += delta;  return values_[segment.id];  }  // 处理部分重合的情况  T value = std::min(Increment(segment.Left(), start, end, delta),  Increment(segment.Right(), start, end, delta));  value += deltas_[segment.id];  values_[segment.id] = value;  return value;   }  const int N;  std::vector<T> values_;  std::vector<T> deltas_; // deltas_[id] 里的值只用于子结点。 }; 

C

在此以求出範圍最小值作為範例

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long int n , q , seg[800005] = {0} , x , a , b , arr[200005];   //初始化線段樹 void build(int id , int l , int r) {  if(l == r){  seg[id] = arr[l];  return;  }  int mid = (l+r)>>1;  build(2*id,l,mid);  build(2*id+1,mid+1,r);  seg[id] = min(seg[2*id],seg[2*id+1]);  return; }   //從線段樹中提取資訊 int query(int id , int l , int r , int ql , int qr) {  if(qr < l || ql > r)return 1e9;  if(ql <= l && r <= qr)return seg[id];  int mid = (l+r)>>1;  return min(query(2*id,l,mid,ql,qr),  query(2*id+1,mid+1,r,ql,qr)); }   //更新線段樹 void update(int id , int l , int r , int k , int u) {  if(l==r){  seg[id] = u;  return;  }  int mid = (l+r)>>1;  if(k <= mid)update(2*id,l,mid,k,u);  else update(2*id+1,mid+1,r,k,u);  seg[id] = min(seg[2*id] , seg[2*id+1]);  return; } signed main() {  //輸入陣列大小 提問數量  cin >> n >> q;  for(int i = 1 ; i <= n ; i++)cin >> arr[i];  build(1,1,n);  for(int i = 0 ; i < q ; i++)  {  //輸入 1 a b 代表將第a個數改為b  //輸入 2 a b 代表求[a,b]中的最小值  cin >> x >> a >> b;  if(x == 1)update(1,1,n,a,b);  else if(x == 2)cout << query(1,1,n,a,b) << "\n";  }  return 0; } 

參考資料

1. （de Berg 等人 2000，p.229）

• de Berg, Mark; van Kreveld, Marc; Overmars, Mark; Schwarzkopf, Otfried. More Geometric Data Structures. Computational Geometry: algorithms and applications  2nd. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York. 20002000. ISBN 3-540-65620-0. doi:10.1007/978-3-540-77974-2.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
• http://www.cs.nthu.edu.tw/~wkhon/ds/ds10/tutorial/tutorial6.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）