谱半径

數學上，矩阵或有界線性算子的谱半径（spectral radius）是其特徵值絕對值中的最大值（也就是矩阵的谱中元素絕對值中的最小上界），會表示為ρ(·)。

矩陣

令λ₁, ..., λ_n是矩陣A ∈ C^n×n中的特徵值，則其谱半径 ρ(A) is 定義為：

${\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.}$ 

${\displaystyle A}$ 的条件数可以用譜半徑表示，公式為${\displaystyle \rho (A)\rho (A^{-1})}$ 。

譜半徑是矩陣所有範數的一種下确界（infimum）。另一方面，${\displaystyle \rho (A)\leqslant \|A\|}$ 對每一個矩陣範數 ${\displaystyle \|\cdot \|}$ 都成立，Gelfand公式指出${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}}$ 。不過，針對任意向量${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$ ，譜半徑不一定會滿足${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$ 。若要說明原因，可以令${\displaystyle r>1}$ 為任意數，考慮矩陣${\displaystyle C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}}$ 。${\displaystyle C_{r}}$ 的特徵多項式是${\displaystyle \lambda ^{2}-1}$ ，因此其特徵值為${\displaystyle \pm 1}$ ，且${\displaystyle \rho (C_{r})=1}$ 。不過${\displaystyle C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}}$ ，因此${\displaystyle \|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|}$ ，其中${\displaystyle \|\cdot \|}$ 是${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 上的任何${\displaystyle \ell ^{p}}$ 範數。至於可以當${\displaystyle k\to \infty }$ 時，讓${\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1}$ 的原因是${\displaystyle C_{r}^{2}=I}$ ，因此當${\displaystyle k\to \infty }$ 時，使${\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\leqslant \|C_{r}\|^{1/k}=r^{1/k}\to 1}$ 。

${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$ 針對所有${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$ 

成立的條件是${\displaystyle A}$ 為埃尔米特矩阵及${\displaystyle \|\cdot \|}$ 為欧几里得範數。

圖

有限图的谱半径定義為其邻接矩阵的谱半径。

此一定義可以擴散到無限圖，但是其每個頂點都只連接有限個頂點（存在一實數C使得每一個頂點的度都小於C）。此情形下，針對圖G可定義：

${\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.}$ 

令γ是 G的邻接算子：

${\displaystyle {\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}}$ 

G的谱半径定義為有界線性算子γ的谱半径。

上界

矩陣譜半徑的上界

以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界：

命題：令A ∈ C^n×n，其譜半徑為ρ(A)，以及相容（Consistent）矩陣範數 ||⋅||。則針對每一個整數${\displaystyle k\geqslant 1}$ :

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$ 

證明

令(v, λ)為矩陣A的特徵值-特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性（sub-multiplicative property），可得：

${\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|}$ 

因為v ≠ 0，可得

${\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}$ 

因此

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$ 

圖譜半徑的上界

有關n個頂點，m個邊的圖，有許多的譜半徑的上界公式。例如，若

${\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}}$ 

其中${\displaystyle 3\leq k\leq n}$ 為整數，則^[1] ：

${\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}}$ 

乘幂數列

定理

谱半径和矩陣乘幂數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立：

定理：令A ∈ C^n×n，其譜半徑ρ(A)。則ρ(A) < 1若且唯若

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0.}$ 

另一方面，若ρ(A) > 1, ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty }$ 。上述敘述針對C^n×n上的任何矩陣範數都有效。

定理證明

假設問題中的極限值為零，可以證明ρ(A) < 1。令(v, λ)為A的特征值和特征向量對。因為A^kv = λ^kv可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}}$ 

因為假設v ≠ 0，會得到

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0}$ 

表示|λ| < 1。因為這對任何一個特征值都會成立，因此可知ρ(A) < 1。

接下來假設A的譜半徑小於1。根據若尔当标准型定理，可以知道針對所有的A ∈ C^n×n，存在V, J ∈ C^n×n以及非奇異的V和J分塊對角矩陣使得：

${\displaystyle A=VJV^{-1}}$ 

而

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$ 

其中

${\displaystyle J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.}$ 

因此可得

${\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1}}$ 

因為J是分塊對角矩陣

${\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$ 

而${\displaystyle m_{i}\times m_{i}}$ 若尔当方塊矩陣k次方可以得到，針對${\displaystyle k\geq m_{i}-1}$ ：

${\displaystyle J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}}$ 

因此，若${\displaystyle \rho (A)<1}$ ，則針對所有的i，${\displaystyle |\lambda _{i}|<1}$ 都會成立。因此針對所有的i，可得：

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0}$ 

這也表示

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J^{k}=0.}$ 

因此

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0}$ 

另一方面，若${\displaystyle \rho (A)>1}$ ，當k增加時，在J中至少有一個元素無法維持有界，因此證明了定理的第二部份。

Gelfand公式

定理

以下的定理可以用[矩陣範數的極限來計算T谱半径

定理（Gelfand公式，1941年）：令任何矩陣範數 ||⋅||,，可得

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.}$ ^[2].

證明

令任意ε > 0，先建構以下二個矩陣：

${\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.}$ 

則:

${\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).}$ 

先將之前的定理應用到A₊:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.}$ 

這表示，根據級數極限定理，一定存在N₊ ∈ N使得針對所有的k ≥ N₊，下式都成立

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{+}^{k}\right\|<1\end{aligned}}}$ 

因此

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .\end{aligned}}}$ 

將之前的定理用在A₋，表示${\displaystyle \|A_{-}^{k}\|}$ 無界，一定存在N₋ ∈ N使得針對所有的k ≥ N₋，下式都成立

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{-}^{k}\right\|>1\end{aligned}}}$ 

因此

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .\end{aligned}}}$ 

令N = max{N₊, N₋},，可得：

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon }$ 

因此，依定義，可得下式

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).}$ 

舉例

考慮以下矩陣

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}}$ 

其中的特徵值為5, 10, 10。依照定義，ρ(A) = 10。在以下的表中，會以四個最常用的矩陣範式，在k增加時，計算${\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}}$ （注意，因為此矩陣特殊的形式，${\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}$ ）:

k	${\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}$	${\displaystyle \|.\|_{F}}$	${\displaystyle \|.\|_{2}}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

有界線性算子

針對有界線性算子 A 及算子范数 ||·||，可以得到

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$ 

（複數希爾伯特空間上的）有界算子若其谱半径等於數值半徑（英语：numerical radius），可以稱為「譜算子」（spectraloid operator）。其中一個例子是正规算子。

相關條目

• 聯合譜半徑
• 譜隙（英语：Spectral gap）
• 矩阵的谱

註解

1. Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin. Sharp upper bounds of the spectral radius of a graph. Discrete Mathematics. 2019, 342 (9): 2559–2563. doi:10.1016/j.disc.2019.05.017 （英语）. 
2. 此公式在任何Banach幾何下都成立。參考Dunford & Schwartz 1963的Lemma IX.1.8，以及Lax 2002，第195–197頁

參考資料

• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob, Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space, Interscience Publishers, Inc., 1963 
• Lax, Peter D., Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1