独立集

独立集（英语：Independent set）是图论中的概念。一个独立集（也称为稳定集）是一个图中一些两两不相邻的顶点所形成的集合。换句话说，独立集${\displaystyle S}$由图中若干顶点组成，且${\displaystyle S}$中任两个顶点之间没有边。等价地，图中的每条边至多有一个端点属于${\displaystyle S}$。一个独立集的基数是它包含顶点的数目。

圖中九個藍色的頂點是延伸佩特森圖（英语：Generalized Petersen graph）GP(12,4)中的一个最大独立集

如果往图${\displaystyle G}$的独立集${\displaystyle S}$中添加任一个顶点都会使独立性丧失（亦即造成某两点间有边），那么称${\displaystyle S}$是极大独立集。如果${\displaystyle S}$是图中所有独立集之中基数最大的，那么称${\displaystyle S}$是最大独立集，且将该基数称为${\displaystyle G}$的独立数，记为${\displaystyle \alpha (G)}$^[1]。一般来讲，图${\displaystyle G}$中可能存在多个极大独立集；最大独立集亦如是。最大独立集一定是极大独立集，但反之未必。

给定一张图，寻找其中一个最大独立集的问题被称为最大独立集问题。该问题已知是NP困难的最优化问题，且即便试图以常数倍近似也是NP困难的。因此，计算机科学家普遍相信不存在解决该问题的高效算法，无论是精确求解还是以常数倍近似求解。

数学定义

对于图${\displaystyle G=(V,E)}$ ，如果顶点子集${\displaystyle S\subseteq V}$ 满足${\displaystyle \forall u,v\in S,\{u,v\}\not \in E}$ ，则称${\displaystyle S}$ 为${\displaystyle G}$ 的一个独立集，称${\displaystyle |S|}$ 为该独立集的基数。

对于独立集${\displaystyle S}$ ，如果${\displaystyle \forall v\in V\setminus S,\exists u\in S:\{u,v\}\in E}$ ，则称${\displaystyle S}$ 是极大独立集。直观而言，极大意味着${\displaystyle S}$ 不能单纯通过加入顶点来扩充。

如果${\displaystyle |S|}$ 是所有独立集中最大的，那么称${\displaystyle S}$ 是最大独立集，并将${\displaystyle |S|}$ 称作${\displaystyle G}$ 的独立数（independence number），记作${\displaystyle \alpha (G)}$ 。最大独立集一定是极大独立集；若不然，我们总能加入顶点来扩充之，从而与最大的定义矛盾。

整数规划形式

计算独立数${\displaystyle \alpha (G)}$ 的问题可以等价表达成如下的整数规划：

${\displaystyle {\begin{aligned}\max \quad &\sum _{v\in V}x_{v}\\{\text{s.t.}}\quad &x_{u}+x_{v}\leq 1&\forall \{u,v\}\in E\\&x_{v}\in \{0,1\}&\forall v\in V\end{aligned}}}$ 

其中，变量${\displaystyle x_{v}}$ 取1代表把顶点${\displaystyle v}$ 放入独立集，取0则反之。第一条线性约束表达了每条边的两个端点不能同时放入独立集中。

与其它图论对象的联系

与顶点覆盖的关系

图的一个顶点覆盖（vertex cover）是顶点集的一个子集，使得图中每条边都与其中某点相邻。基数最小的顶点覆盖称为图的最小顶点覆盖。独立集与顶点覆盖的定义互补，因此不难看出，${\displaystyle S}$ 是图${\displaystyle G}$ 的独立集当且仅当${\displaystyle V\setminus S}$ 是${\displaystyle G}$ 的顶点覆盖。于是，${\displaystyle \alpha (G)}$ 就等于${\displaystyle G}$ 的顶点数减去${\displaystyle G}$ 的最小顶点覆盖的基数。

与团的关系

在图论中，团（clique）是一个与独立集密切相关的概念。图${\displaystyle G=(V,E)}$ 的一个团指的是一个顶点子集${\displaystyle C\subseteq V}$ ，使得${\displaystyle C}$ 中顶点两两相邻。用图论的语言，团即一个完全的子图。${\displaystyle G}$ 的最大团的基数称作${\displaystyle G}$ 的团数（clique number），记作 ${\displaystyle \omega (G)}$ 。 如果说独立集是一种水火不容的顶点集，那么团就是一种息息相关的顶点集。不难看出，一个图的团是其补图的独立集，反之亦然。这个一一对应关系使得二者性质能够相互转述，而与二者相关的问题往往等价。例如，图的团数等于其补图的独立数，即 ${\displaystyle \omega (G)=\alpha ({\overline {G}})}$ 。类似地，图${\displaystyle G}$ 中团的总数等于补图${\displaystyle {\overline {G}}}$ 中独立集的总数。

对于一般的图而言，寻找最大团是NP困难的，从而寻找最大独立集也是NP困难的。计算机科学家普遍相信没有算法能在确定性多项式时间解决之。但是，对于二分图这一特殊情形，则有多种方法可以高效地求解。例如，可以求解松弛后的线性规划并对结果作整数化处理，也可以使用匈牙利算法求出最小顶点覆盖后再转化为最大独立集。

与点连通度的关系

图的点连通度${\displaystyle \kappa (G)}$ 定义为：最少需要删除${\displaystyle \kappa (G)}$ 个顶点方能使得图不复连通。独立数与点连通度有着简单关系

${\displaystyle \kappa (G)\leq n-\alpha (G)}$ 

原因是：设${\displaystyle S}$ 是一个最大独立集，把${\displaystyle V\setminus S}$ 的顶点全部删掉以后，残余下来的正是独立集${\displaystyle S}$ ，而它自然是不连通的。

与着色数的关系

图的着色（proper colouring）即为每个顶点染上一种颜色，使得任意相邻顶点颜色均不同（但不相邻顶点颜色可以相同）。对图${\displaystyle G}$ 进行着色所需的最少颜色数被称为${\displaystyle G}$ 的着色数，记作${\displaystyle \chi (G)}$ 。独立数和着色数之间存在以下关系：

${\displaystyle {\frac {n}{\alpha (G)}}\leq \chi (G)\leq n-\alpha (G)+1}$ 

其中${\displaystyle n}$ 是${\displaystyle G}$ 中的顶点数。

证明

左侧不等式：设着色${\displaystyle f:V\to [\chi (G)]}$ 是一个使用颜色最少的方案，我们构造${\displaystyle \chi (G)}$ 个集合${\displaystyle S_{1},\dots ,S_{\chi (G)}}$ 如下。${\displaystyle S_{i}:=\{v\in V\mid f(v)=i\}}$ 。也就是说，把颜色相同的节点放入同一个集合。这些集合构成了顶点集的一个划分，所以${\textstyle n=\sum _{i=1}^{\chi (G)}|S_{i}|}$ 。注意到每个集合都各是一个独立集（因为相同颜色的顶点之间不允许有边），所以${\displaystyle |S_{i}|\leq \alpha (G)}$ 对它们均成立。代入先前等式便有${\textstyle n\leq \chi (G)\cdot \alpha (G)}$  右侧不等式：设${\displaystyle S}$ 是一个最大独立集，我们据此构造一种着色${\displaystyle f}$ 。首先，${\displaystyle f}$ 给${\displaystyle S}$ 中所有顶点均染上颜色1（这必定不会造成冲突）。其次，${\displaystyle f}$ 给其余顶点分配互异且非1的颜色。容易看出${\displaystyle f}$ 仅仅使用了${\displaystyle 1+|V\setminus S|=1+n-\alpha (G)}$ 种颜色，因此着色数必定不少于该数。

计算复杂性

求最大独立集是计算机科学中的重要问题，因为许多现实场景可以抽象成该问题。例如，人们希望组织一场会议，候选的某些演讲者之间或有嫌隙，不愿同时出席。可以将这种候选人之间敌意关系抽象成一张图，两个候选人间有边当且仅当二者不和。那么，最终的演讲者名单就应当是这张图的一个独立集。会议组织者希望邀请尽可能多的演讲者以充实内容，也就相当于寻找图中的最大独立集。

然而，计算复杂性理论在以下两方面的进展暗示该问题难以求解。

判定版本的NP完备性

考虑最大独立集问题的判定版本：给定一张图和一个目标${\displaystyle I}$ ，图中是否存在一个独立集的基数不小于${\displaystyle I}$ ？在先前的例子中，相当于：会议组织者预先设定了一个目标邀请人数，问这个目标能否实现？其实，判定版本并不比原始版本简单。假设我们能够高效解决判定版本，那么也可以借助自归约性质（self-reducibility），相对高效地解决原始版本。

最大独立集问题的判定版本是NP完备的，这意味着，除非${\displaystyle {\textsf {P}}={\textsf {NP}}}$ （而人们普遍相信这是不可能的），否则不存在确定性多项式时间算法解决之。其完备性的证明可以参见^[2]。

优化版本的不可近似性

考虑最大独立集问题的优化版本：给定一张图${\displaystyle G}$ ，计算${\displaystyle \alpha (G)}$ 。该问题是MAXSNP完备的，这意味着，除非${\displaystyle {\textsf {P}}={\textsf {NP}}}$ ，否则不存在确定性多项式时间算法能以任意精度近似之（PTAS）。

还可以证明：假若存在某个高效算法能以某常数${\displaystyle c>0}$ 为近似比计算该问题，那么就能据此构造出一个以任意精度近似计算该问题的高效算法（PTAS）。结合前面的结论可知：除非${\displaystyle {\textsf {P}}={\textsf {NP}}}$ ，否则不存在高效算法能以常数倍近似计算该问题。^[3]

参考资料

1. Chris Godsil and Gordon Royle. Algebraic Graph Theory. New York: Springer. 2001: p. 3. ISBN 0-387-95220-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. Sipser, Michael. Introduction to the Theory of Computation, Third Edition. Cengage Learning. 2013: pp. 311–313. ISBN 978-1-133-18779-0.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
3. Papadimitriou, Christos H. Computationaly Complexity. Addison Wesley Longman. 1994: pp. 309–322. ISBN 0-201-53082-1.  引文格式1维护：冗余文本 (link)