狀態轉移矩陣

狀態轉移矩陣（state-transition matrix）是控制理論中的矩陣，是時間${\displaystyle t}$和初始時間${\displaystyle t_{0}}$的函數，可以將時間${\displaystyle t_{0}}$的狀態向量${\displaystyle x}$和此矩陣相乘，得到時間${\displaystyle t}$時的狀態向量${\displaystyle x}$。狀態轉移矩陣可以用來找線性動態系統的通解。

線性系統的解

狀態轉移矩陣用來找以下形式線性系統在状态空间下的解：

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}}$ ,

其中${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ 為系統狀態，${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ 為輸入信號，而${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ 為時間${\displaystyle t_{0}}$ 時的初始條件。利用狀態轉移矩陣${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$ ，其解如下^[1][2]：

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau }$ 

第一項為零輸入響應（zero-input response），第二項為零狀態響應（zero-state response）。

Peano-Baker級數解

更廣義的狀態轉移矩陣可以用Peano-Baker級數解求得

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...}$ 

其中${\displaystyle \mathbf {I} }$ 為單位矩陣。此矩陣均勻收斂到一個存在而且唯一的解，而且是絕對收斂^[2]。

其他性質

狀態轉移矩陣${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$ 可以表示為下式

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )}$ 

其中${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$ 為基礎矩陣（英语：Fundamental matrix (linear differential equation)），滿足下式

${\displaystyle {\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)}$ 

狀態轉移矩陣是${\displaystyle n\times n}$ 的矩陣，是會映射到本身的线性映射。若${\displaystyle \mathbf {u} (t)=0}$ ，再給定任意時間${\displaystyle \tau }$ 下的狀態${\displaystyle \mathbf {x} (\tau )}$ ，另一個時間${\displaystyle t}$ 的狀態可由以下映射求得

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )}$ 

狀態轉移矩陣恆滿足以下的關係：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$  and

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (\tau ,\tau )=I}$ 對於所有的${\displaystyle \tau }$ ，其中${\displaystyle I}$ 為單位矩陣^[3]。

${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$ 也有以下的性質：

1.	${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})}$
2.	${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)}$
3.	${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=I}$
4.	${\displaystyle {\frac {d\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{dt}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$

若系統是时不变系统，可以將${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$ 定義為

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}}$ 

在時變系統的例子中，可能有許多不同的函數滿足上述條件，而解和系統的結構有關。在分析時變系統的解之前，需要先確定其狀態轉移矩陣。

註解

• Baake, M.; Schlaegel, U. The Peano Baker Series 275. 2011: 155–159.  |journal=被忽略 (帮助)
• Brogan, W.L. Modern Control Theory. Prentice Hall. 1991. ISBN 0-13-589763-7. 

參考資料

1. Baake, Michael; Schlaegel, Ulrike. The Peano Baker Series. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2011, 275: 155–159. 
2. Rugh, Wilson. Linear System Theory. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 1996. ISBN 0-13-441205-2. 
3. Brockett, Roger W. Finite Dimensional Linear Systems. John Wiley & Sons. 1970. ISBN 978-0-471-10585-5. 

相關條目

• Magnus展開（英语：Magnus expansion）