法贝尔-杰克逊关系

法贝尔-杰克逊关系（Faber-Jackson relation）是椭圆星系的光度与其中发光物质的速度弥散的关系，由珊德拉·法贝尔和罗伯特·杰克逊于1976年发现^[1]。

法贝尔-杰克逊关系认为：

${\displaystyle L\propto \sigma ^{\gamma }}$

其中L是椭圆星系的光度，σ是中心的速度弥散，指数γ接近于4。该关系可以用来测定椭圆星系的距离。

公式推導

在質量為M、半徑為R的星系中，重力位能可以如下的算式顯示：

${\displaystyle U=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}}$ 

動能則為

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}M\sigma ^{2}}$ 

依據维里定理（Virial Theorem）（${\displaystyle 2K+U=0}$ ），可以得到：

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}}$ .

如果我們假設質量和光度之間的關係是常數，即：

${\displaystyle {\frac {M}{L}}=C}$ 

我們可以觀察到

${\displaystyle M\propto L}$ 

消除質量M

${\displaystyle L\propto {\frac {\sigma ^{2}R}{G}}}$ ,

於是我們得到R和彌散速度的關係：

${\displaystyle R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}}$ .

我們再導入表面光度，並假設這也是常數：

${\displaystyle B={\frac {L}{4\pi R^{2}}}}$ ,

於是

${\displaystyle L=4\pi R^{2}B}$ .

因此，

${\displaystyle L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B}$ ,

最後，我們得到彌散速度和光度之間的關係：

${\displaystyle L\propto {\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}}}$ ,

也就是

${\displaystyle L\propto \sigma ^{4}}$ .

参考文献

1. Faber, S.M., Jackson, R.E., 1976, Astrophysical Journal, 204, 668. NASA ADS

参见

• 塔利-费舍尔关系