泊松求和公式, 此條目没有列出任何参考或来源, 2018年7月4日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, 英文, poisson, summation, formula, 由法國數學家泊松所發現, 它陳述了一個連續時間的信號, 做無限多次的週期複製後, 其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係, 亦可用來求周期信號的傅立葉轉換, 目录, 公式的形式, 推導所需的先備公式, 證明, 轉換對, 證明, 轉換對, 推導, 從對頻域做取樣尋找關. 此條目没有列出任何参考或来源 2018年7月4日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 泊松求和公式 英文 Poisson Summation Formula 由法國數學家泊松所發現 它陳述了一個連續時間的信號 做無限多次的週期複製後 其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係 亦可用來求周期信號的傅立葉轉換 目录 1 公式的形式 2 推導泊松求和公式所需的先備公式 2 1 證明 轉換對 2 2 證明 轉換對 3 推導泊松求和公式 3 1 從對頻域做取樣尋找關係式 3 2 從對時域做取樣尋找關係式 4 週期信號的傅立葉轉換公式的形式 编辑x t displaystyle x t nbsp 是一個連續時間的信號 做無限次的週期複製之後 產生 n x t n T 0 displaystyle sum n infty infty x t nT 0 nbsp 可由此推導出泊松求和公式 泊松求和公式陳述 n x n k X k displaystyle sum n infty infty x n sum k infty infty X k nbsp 其中X f F x t displaystyle X f mathcal F left x t right nbsp 推導泊松求和公式所需的先備公式 编辑考慮狄拉克d函數d t displaystyle delta t nbsp 製作一個有無限多個d t displaystyle delta t nbsp 且間隔為T 0 displaystyle T 0 nbsp 的週期函數 n d t n T 0 displaystyle sum n infty infty delta t nT 0 nbsp 其傅立葉轉換為 n e j 2 p n T 0 f displaystyle sum n infty infty e j2 pi nT 0 f nbsp 1 T 0 n d f n T 0 displaystyle frac 1 T 0 sum n infty infty delta left f frac n T 0 right nbsp 證明 轉換對 编辑 F n d t n T 0 displaystyle mathcal F left sum n infty infty delta t nT 0 right nbsp n F d t n T 0 displaystyle sum n infty infty mathcal F left delta t nT 0 right nbsp n e j 2 p n T 0 f displaystyle sum n infty infty e j2 pi nT 0 f nbsp 證明 轉換對 编辑 設c n displaystyle c n nbsp 為週期函數 n d t n T 0 displaystyle sum n infty infty delta t nT 0 nbsp 的傅立葉級數 n d t n T 0 displaystyle sum n infty infty delta t nT 0 nbsp 可表示為 n c n e j 2 p n t T 0 displaystyle sum n infty infty c n e j2 pi n frac t T 0 nbsp 由傅立葉級數得 c n 1 T 0 T 0 2 T 0 2 m d t m T 0 e j 2 p n t T 0 d t 1 T 0 T 0 2 T 0 2 d t e j 2 p n t T 0 d t 1 T 0 T 0 2 T 0 2 d t e j 2 p n 0 T 0 d t 1 T 0 displaystyle c n frac 1 T 0 int frac T 0 2 frac T 0 2 sum m infty infty delta t mT 0 e j2 pi n frac t T 0 dt frac 1 T 0 int frac T 0 2 frac T 0 2 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推導泊松求和公式 编辑從對頻域做取樣尋找關係式 编辑 n x t n T 0 displaystyle sum n infty infty x t nT 0 nbsp n x t d t n T 0 displaystyle sum n infty infty x t delta t nT 0 nbsp x t n d t n T 0 displaystyle x t sum n infty infty delta t nT 0 nbsp x t 1 T 0 n e j 2 p n 1 T 0 t displaystyle x t frac 1 T 0 sum n infty infty e j2 pi n frac 1 T 0 t nbsp 1 T 0 n x t e j 2 p n 1 T 0 t displaystyle frac 1 T 0 sum n infty infty x t e j2 pi n frac 1 T 0 t nbsp 1 T 0 n x t e j 2 p n 1 T 0 t t d t displaystyle frac 1 T 0 sum n infty infty int infty infty x tau e j2 pi n frac 1 T 0 t tau d tau nbsp 1 T 0 n x t e j 2 p n 1 T 0 t d t e j 2 p n 1 T 0 t displaystyle frac 1 T 0 sum n infty infty left int infty infty x tau e j2 pi n frac 1 T 0 tau d tau e j2 pi n frac 1 T 0 t right nbsp 1 T 0 n X n T 0 e j 2 p n 1 T 0 t displaystyle frac 1 T 0 sum n infty infty X frac n T 0 e j2 pi n frac 1 T 0 t nbsp 當t 0 displaystyle t 0 nbsp 時 得 n x n T 0 1 T 0 n X n T 0 displaystyle sum n infty infty x nT 0 frac 1 T 0 sum n infty infty X frac n T 0 nbsp 表示一個信號的在時域以T 0 displaystyle T 0 nbsp 為間隔做取樣 在頻域以1 T 0 displaystyle frac 1 T 0 nbsp 為間隔做取樣 則兩者的所有取樣點的總和會有T 0 displaystyle T 0 nbsp 倍的關係 從對時域做取樣尋找關係式 编辑 1 T 0 n X f n T 0 displaystyle frac 1 T 0 sum n infty infty X f frac n T 0 nbsp 1 T 0 n X f d f n T 0 displaystyle frac 1 T 0 sum n infty infty X f delta f frac n T 0 nbsp X f 1 T 0 n d f n T 0 displaystyle X f frac 1 T 0 sum n infty infty delta f frac n T 0 nbsp X f n e j 2 p n T 0 f displaystyle X f sum n infty infty e j2 pi nT 0 f nbsp n X f e j 2 p n T 0 f displaystyle sum n infty infty X f e j2 pi nT 0 f nbsp n X l e j 2 p n T 0 f l d l displaystyle sum n infty infty int infty infty X lambda e j2 pi nT 0 f lambda d lambda nbsp n X l e j 2 p n T 0 l d l e j 2 p n T 0 f displaystyle sum n infty infty left int infty infty X lambda e j2 pi nT 0 lambda d lambda e j2 pi nT 0 f right nbsp n x n T 0 e j 2 p n T 0 f displaystyle sum n infty infty x nT 0 e j2 pi nT 0 f nbsp 當f 0 displaystyle f 0 nbsp 時 得1 T 0 n X n T 0 n x n T 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