沃利斯乘积, 沃利斯乘積, 又称沃利斯公式, 由數學家約翰, 沃利斯在1655年时发现, displaystyle, prod, infty, frac, cdot, frac, frac, cdot, frac, cdot, frac, cdot, frac, cdot, frac, cdot, frac, cdot, frac, cdot, frac, cdots, frac, 當時證明, 编辑今日多數的微積分教科書透過比較, displaystyle, nbsp, 在n是奇數或是偶數, 甚至是接近無窮大的情況. 沃利斯乘積 又称沃利斯公式 由數學家約翰 沃利斯在1655年时发现 n 1 2 n 2 n 1 2 n 2 n 1 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 7 8 9 p 2 displaystyle prod n 1 infty frac 2n 2n 1 cdot frac 2n 2n 1 frac 2 1 cdot frac 2 3 cdot frac 4 3 cdot frac 4 5 cdot frac 6 5 cdot frac 6 7 cdot frac 8 7 cdot frac 8 9 cdots frac pi 2 當時證明 编辑今日多數的微積分教科書透過比較 0 p sin n x d x displaystyle int 0 pi sin n xdx nbsp 在n是奇數或是偶數 甚至是接近無窮大的情況下 發現即使將n增加一就會發生不一樣的情形 在那時 微積分尚未存在 而且有關數學收斂的分析工具也還未俱全 所以完成這證明較現今有相當的難度 從現在來看 從欧拉公式中的正弦展開式得到此乘積是必然的結果 sin x x 1 x 2 p 2 1 x 2 4 p 2 1 x 2 9 p 2 n 1 1 x 2 n 2 p 2 displaystyle frac sin x x left 1 frac x 2 pi 2 right left 1 frac x 2 4 pi 2 right left 1 frac x 2 9 pi 2 right cdots prod n 1 infty left 1 frac x 2 n 2 pi 2 right nbsp 在x p 2時 2 p n 1 1 1 4 n 2 1 1 2 2 1 1 2 2 4 1 1 2 2 9 displaystyle frac 2 pi prod n 1 infty left 1 frac 1 4n 2 right left 1 frac 1 2 2 right left 1 frac 1 2 2 cdot 4 right left 1 frac 1 2 2 cdot 9 right cdots nbsp p 2 n 1 4 n 2 4 n 2 1 n 1 2 n 2 n 2 n 1 2 n 1 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 7 8 9 displaystyle begin aligned frac pi 2 amp prod n 1 infty left frac 4n 2 4n 2 1 right amp prod n 1 infty frac 2n 2n 2n 1 2n 1 frac 2 1 cdot frac 2 3 cdot frac 4 3 cdot frac 4 5 cdot frac 6 5 cdot frac 6 7 cdot frac 8 7 cdot frac 8 9 cdots end aligned nbsp 嚴謹證明 编辑先考慮不定積分 sin n x d x displaystyle int sin n xdx nbsp 有 sin n x d x displaystyle int sin n xdx nbsp sin n 1 x d cos x displaystyle int sin n 1 xd cos x nbsp cos x sin n 1 x cos x d sin n 1 x displaystyle cos x sin n 1 x int cos xd sin n 1 x nbsp cos x sin n 1 x n 1 sin n 2 x cos 2 x d x displaystyle cos x sin n 1 x int n 1 sin n 2 x cos 2 xdx nbsp cos x sin n 1 x n 1 sin n 2 x 1 sin 2 x d x displaystyle cos x sin n 1 x n 1 int sin n 2 x 1 sin 2 x dx nbsp cos x sin n 1 x n 1 sin n 2 x d x n 1 sin n x d x displaystyle cos x sin n 1 x n 1 int sin n 2 xdx n 1 int sin n xdx nbsp 故 sin n x d x 1 n cos x sin n 1 x n 1 n sin n 2 x d x displaystyle int sin n xdx frac 1 n cos x sin n 1 x frac n 1 n int sin n 2 xdx nbsp 0 p 2 sin n x d x n 1 n 0 p 2 sin n 2 x d x displaystyle int 0 frac pi 2 sin n xdx frac n 1 n int 0 frac pi 2 sin n 2 xdx nbsp 對整數m 0 p 2 sin 2 m x d x displaystyle int 0 frac pi 2 sin 2m xdx nbsp 2 m 1 2 m 0 p 2 sin 2 m 2 x d x displaystyle frac 2m 1 2m int 0 frac pi 2 sin 2m 2 xdx nbsp 2 m 1 2 m 2 m 3 2 m 2 0 p 2 sin 2 m 4 x d x displaystyle frac 2m 1 2m frac 2m 3 2m 2 int 0 frac pi 2 sin 2m 4 xdx nbsp displaystyle nbsp 2 m 1 2 m 2 m 3 2 m 2 1 2 0 p 2 sin 0 x d x displaystyle frac 2m 1 2m frac 2m 3 2m 2 frac 1 2 int 0 frac pi 2 sin 0 xdx nbsp 2 m 1 2 m 2 m 3 2 m 2 1 2 p 2 displaystyle frac 2m 1 2m frac 2m 3 2m 2 frac 1 2 frac pi 2 nbsp 另一方面 0 p 2 sin 2 m 1 x d x displaystyle int 0 frac pi 2 sin 2m 1 xdx nbsp 2 m 2 m 1 0 p 2 sin 2 m 1 x d x displaystyle frac 2m 2m 1 int 0 frac pi 2 sin 2m 1 xdx nbsp 2 m 2 m 1 2 m 2 2 m 1 0 p 2 sin 2 m 3 x d x displaystyle frac 2m 2m 1 frac 2m 2 2m 1 int 0 frac pi 2 sin 2m 3 xdx nbsp displaystyle nbsp 2 m 2 m 1 2 m 2 2 m 1 2 3 0 p 2 sin x d x displaystyle frac 2m 2m 1 frac 2m 2 2m 1 frac 2 3 int 0 frac pi 2 sin xdx nbsp 2 m 2 m 1 2 m 2 2 m 1 2 3 displaystyle frac 2m 2m 1 frac 2m 2 2m 1 frac 2 3 nbsp 兩式相除得 0 p 2 sin 2 m x d x 0 p 2 sin 2 m 1 x d x 2 m 1 2 m 2 m 3 2 m 2 1 2 p 2 2 m 2 m 1 2 m 2 2 m 1 2 3 displaystyle frac int 0 frac pi 2 sin 2m xdx int 0 frac pi 2 sin 2m 1 xdx frac frac 2m 1 2m frac 2m 3 2m 2 frac 1 2 frac pi 2 frac 2m 2m 1 frac 2m 2 2m 1 frac 2 3 nbsp 故p 2 2 1 2 3 4 3 4 5 2 m 2 m 1 2 m 2 m 1 0 p 2 sin 2 m x d x 0 p 2 sin 2 m 1 x d x 0 p 2 sin 2 m x d x 0 p 2 sin 2 m 1 x d x n 1 m 2 n 2 n 1 2 n 2 n 1 displaystyle frac pi 2 frac 2 1 frac 2 3 frac 4 3 frac 4 5 frac 2m 2m 1 frac 2m 2m 1 frac int 0 frac pi 2 sin 2m xdx int 0 frac pi 2 sin 2m 1 xdx frac int 0 frac pi 2 sin 2m xdx int 0 frac pi 2 sin 2m 1 xdx prod n 1 m frac 2n 2n 1 cdot frac 2n 2n 1 nbsp 又因為1 0 p 2 sin 2 m 1 x d x 0 p 2 sin 2 m 1 x d x lt 0 p 2 sin 2 m x d x 0 p 2 sin 2 m 1 x d x lt 0 p 2 sin 2 m 1 x d x 0 p 2 sin 2 m 1 x d x 2 m 1 2 m displaystyle 1 frac int 0 frac pi 2 sin 2m 1 xdx int 0 frac pi 2 sin 2m 1 xdx lt frac int 0 frac pi 2 sin 2m xdx int 0 frac pi 2 sin 2m 1 xdx lt frac int 0 frac pi 2 sin 2m 1 xdx int 0 frac pi 2 sin 2m 1 xdx frac 2m 1 2m nbsp 由夾擠定理知lim m 1 lim m 2 m 1 2 m 1 displaystyle lim m to infty 1 lim m to infty frac 2m 1 2m 1 nbsp 故p 2 n 1 2 n 2 n 1 2 n 2 n 1 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 7 8 9 displaystyle frac pi 2 prod n 1 infty frac 2n 2n 1 cdot frac 2n 2n 1 frac 2 1 cdot frac 2 3 cdot frac 4 3 cdot frac 4 5 cdot frac 6 5 cdot frac 6 7 cdot frac 8 7 cdot frac 8 9 cdots nbsp 尋找 z 2 编辑我們可將上述的正弦乘積式化為泰勒级数 x 1 x 2 p 2 1 x 2 4 p 2 1 x 2 9 p 2 x 1 3 x 3 1 5 x 5 displaystyle x left 1 frac x 2 pi 2 right left 1 frac x 2 4 pi 2 right left 1 frac x 2 9 pi 2 right cdots x frac 1 3 x 3 frac 1 5 x 5 cdots nbsp 取自 https zh wikipedia org w index php title 沃利斯乘积 amp oldid 69192948, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,