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水仙花数

二月 02, 2023

在数论中，水仙花数（Narcissistic number）[1][2]，也被稱為超完全数字不变数（pluperfect digital invariant, PPDI）[3]、自戀數、自幂數、阿姆斯壯數或阿姆斯特朗數（Armstrong number）[4] ，用来描述一个N位非负整数，其各位数字的N次方和等于该数本身。

水仙花数的定义

设有自然数n，d为该自然数各位数字，即 n = dkdk-1...d1 ，则有：

n = dk·10k-1 + dk-1·10k-2 + ... + d2·10 + d1,

如果该自然数n满足条件：

n = dkk + dk-1k + ... + d2k + d1k.

则这个自然数就被称为超完全数字不变数。 例如153、370、371及407就是三位超完全数字不变数，其各个数之立方和等于该数：

153 = 13 + 53 + 33。
370 = 33 + 73 + 03。
371 = 33 + 73 + 13。
407 = 43 + 03 + 73。

若將條件放寬，一個N位数，其各个数之M次方和等于该数，M和N不一定相等，這樣的數稱為完全數字不變數（perfect digital invariant）[5][2]，例如數字4150等於各位數字的5次方。

4150 = 45 + 15 + 55 + 05,

水仙花数一定是完全數字不變數，但完全數字不變數不一定是水仙花数。 严格意义来说水仙花数指三位数。

部分水仙花数

十進制下的水仙花数

十进制的水仙花數共有89個，最大的是

115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401

共有39位數。[6]

完整的十进制水仙花数列表如下：（OEIS數列A005188）

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4
  6. 5
  7. 6
  8. 7
  9. 8
  10. 9
  11. 153
  12. 370
  13. 371
  14. 407
  15. 1634
  16. 8208
  17. 9474
  18. 54748
  19. 92727
  20. 93084
  21. 548834
  22. 1741725
  23. 4210818
  24. 9800817
  25. 9926315
  26. 24678050
  27. 24678051
  28. 88593477
  29. 146511208
  30. 472335975
  31. 534494836
  32. 912985153
  33. 4679307774
  34. 32164049650
  35. 32164049651
  36. 40028394225
  37. 42678290603
  38. 44708635679
  39. 49388550606
  40. 82693916578
  41. 94204591914
  42. 28116440335967
  43. 4338281769391370
  44. 4338281769391371
  45. 21897142587612075
  46. 35641594208964132
  47. 35875699062250035
  48. 1517841543307505039
  49. 3289582984443187032
  50. 4498128791164624869
  51. 4929273885928088826
  52. 63105425988599693916
  53. 128468643043731391252
  54. 449177399146038697307
  55. 21887696841122916288858
  56. 27879694893054074471405
  57. 27907865009977052567814
  58. 28361281321319229463398
  59. 35452590104031691935943
  60. 174088005938065293023722
  61. 188451485447897896036875
  62. 239313664430041569350093
  63. 1550475334214501539088894
  64. 1553242162893771850669378
  65. 3706907995955475988644380
  66. 3706907995955475988644381
  67. 4422095118095899619457938
  68. 121204998563613372405438066
  69. 121270696006801314328439376
  70. 128851796696487777842012787
  71. 174650464499531377631639254
  72. 177265453171792792366489765
  73. 14607640612971980372614873089
  74. 19008174136254279995012734740
  75. 19008174136254279995012734741
  76. 23866716435523975980390369295
  77. 1145037275765491025924292050346
  78. 1927890457142960697580636236639
  79. 2309092682616190307509695338915
  80. 17333509997782249308725103962772
  81. 186709961001538790100634132976990
  82. 186709961001538790100634132976991
  83. 1122763285329372541592822900204593
  84. 12639369517103790328947807201478392
  85. 12679937780272278566303885594196922
  86. 1219167219625434121569735803609966019
  87. 12815792078366059955099770545296129367
  88. 115132219018763992565095597973971522400
  89. 115132219018763992565095597973971522401

十二進制下的水仙花數

（OEIS數列A161949）

25:22+52=25
A5:A2+52=A5
577:53+73+73=577
668:63+63+83=668
A83:A3+83+33=A83
14765:15+45+75+65+55=14765
938A4:95+35+85+A5+45=938A4

顯然，任何一位數（從1到B）都是水仙花數，另外，在十二進制中，不存在四位數的水仙花數。

参考资料

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Narcissistic Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  2. ^ 2.0 2.1 Perfect and PluPerfect Digital Invariants 互联网档案馆的，存档日期2007-10-10. by Scott Moore
  3. ^ by Harvey Heinz
  4. ^ Armstrong Numbersl[永久失效連結] by Dik T. Winter
  5. ^ by Harvey Heinz
  6. ^ Weisstein, Eric W. (编). Narcissistic Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-06-10]. （原始内容于2018-01-20） （英语）. 
  • Rose, Colin (2005), Radical narcissistic numbers, Journal of Recreational Mathematics, 33(4), 2004-2005, pages 250-254.
  • by Walter Schneider
  • On a curious property of 3435 （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Daan van Berkel

二月 02, 2023
水仙花数, 此條目應避免有陳列雜項, 瑣碎資料的部分, 2013年5月8日, 請協助將有關資料重新編排成連貫性的文章, 安置於適當章節或條目內, 在数论中, narcissistic, number, 也被稱為超完全数字不变数, pluperfect, digital, invariant, ppdi, 自戀數, 自幂數, 阿姆斯壯數或阿姆斯特朗數, armstrong, number, 用来描述一个n位非负整数, 其各位数字的n次方和等于该数本身, 目录, 的定义, 部分, 十進制下的, 十二進制下的水仙花數, . 此條目應避免有陳列雜項 瑣碎資料的部分 2013年5月8日 請協助將有關資料重新編排成連貫性的文章 安置於適當章節或條目內 在数论中 水仙花数 Narcissistic number 1 2 也被稱為超完全数字不变数 pluperfect digital invariant PPDI 3 自戀數 自幂數 阿姆斯壯數或阿姆斯特朗數 Armstrong number 4 用来描述一个N位非负整数 其各位数字的N次方和等于该数本身 目录 1 水仙花数的定义 2 部分水仙花数 2 1 十進制下的水仙花数 2 2 十二進制下的水仙花數 3 参考资料水仙花数的定义 编辑设有自然数n d为该自然数各位数字 即 n dkdk 1 d1 则有 n dk 10k 1 dk 1 10k 2 d2 10 d1 如果该自然数n满足条件 n dkk dk 1k d2k d1k 则这个自然数就被称为超完全数字不变数 例如153 370 371及407就是三位超完全数字不变数 其各个数之立方和等于该数 153 13 53 33 370 33 73 03 371 33 73 13 407 43 03 73 若將條件放寬 一個N位数 其各个数之M次方和等于该数 M和N不一定相等 這樣的數稱為完全數字不變數 perfect digital invariant 5 2 例如數字4150等於各位數字的5次方 4150 45 15 55 05 水仙花数一定是完全數字不變數 但完全數字不變數不一定是水仙花数 严格意义来说水仙花数指三位数 部分水仙花数 编辑十進制下的水仙花数 编辑 十进制的水仙花數共有89個 最大的是 115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401共有39位數 6 完整的十进制水仙花数列表如下 OEIS數列A005188 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 153 370 371 407 1634 8208 9474 54748 92727 93084 548834 1741725 4210818 9800817 9926315 24678050 24678051 88593477 146511208 472335975 534494836 912985153 4679307774 32164049650 32164049651 40028394225 42678290603 44708635679 49388550606 82693916578 94204591914 28116440335967 4338281769391370 4338281769391371 21897142587612075 35641594208964132 35875699062250035 1517841543307505039 3289582984443187032 4498128791164624869 4929273885928088826 63105425988599693916 128468643043731391252 449177399146038697307 21887696841122916288858 27879694893054074471405 27907865009977052567814 28361281321319229463398 35452590104031691935943 174088005938065293023722 188451485447897896036875 239313664430041569350093 1550475334214501539088894 1553242162893771850669378 3706907995955475988644380 3706907995955475988644381 4422095118095899619457938 121204998563613372405438066 121270696006801314328439376 128851796696487777842012787 174650464499531377631639254 177265453171792792366489765 14607640612971980372614873089 19008174136254279995012734740 19008174136254279995012734741 23866716435523975980390369295 1145037275765491025924292050346 1927890457142960697580636236639 2309092682616190307509695338915 17333509997782249308725103962772 186709961001538790100634132976990 186709961001538790100634132976991 1122763285329372541592822900204593 12639369517103790328947807201478392 12679937780272278566303885594196922 1219167219625434121569735803609966019 12815792078366059955099770545296129367 115132219018763992565095597973971522400 115132219018763992565095597973971522401十二進制下的水仙花數 编辑 OEIS數列A161949 25 22 52 25 A5 A2 52 A5 577 53 73 73 577 668 63 63 83 668 A83 A3 83 33 A83 14765 15 45 75 65 55 14765 938A4 95 35 85 A5 45 938A4顯然 任何一位數 從1到B 都是水仙花數 另外 在十二進制中 不存在四位數的水仙花數 三进制中的这样的数有 0 1 2 12 122 四进制中的这样的数有 0 1 2 3 313参考资料 编辑 Weisstein Eric W 编 Narcissistic Number at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 2 0 2 1 Perfect and PluPerfect Digital Invariants 互联网档案馆的存檔 存档日期2007 10 10 by Scott Moore PPDI Armstrong Numbers by Harvey Heinz Armstrong Numbersl 永久失效連結 by Dik T Winter PDIs by Harvey Heinz Weisstein Eric W 编 Narcissistic Number at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 2019 06 10 原始内容存档于2018 01 20 英语 Rose Colin 2005 Radical narcissistic numbers Journal of Recreational Mathematics 33 4 2004 2005 pages 250 254 Perfect Digital Invariants by Walter Schneider On a curious property of 3435 页面存档备份 存于互联网档案馆 by Daan van Berkel 取自 https zh wikipedia org w index php title 水仙花数 amp oldid 74740719, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，

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