歐拉函數 (複變函數)

在數學上，歐拉函數的定義如下

複數平面上歐拉函數φ的絕對值，黑色部份的值為0，紅黑色部份的值為4

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$

此函數得名由萊昂哈德·歐拉。歐拉函數是典型的q級數及模形式函數，也是描述组合数学及複分析之間關係的典型範例。

性質

歐拉函數的的倒數${\displaystyle 1/\phi (q)}$ 展開成形式幂級數，其對應的係數${\displaystyle p(k)}$ 恰好是k的分割函數，亦即

${\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}}$ 

其中${\displaystyle p(k)}$ 為k的分割函數。

五邊形數定理是一個有關歐拉函數的恆等式，其定理如下：

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.}$ 

其中${\displaystyle (3n^{2}-n)/2}$ 為廣義五邊形數。

依拉馬努金恆等式（Ramanujan identity），歐拉函數和戴德金η函數有以下的關係：

${\displaystyle \phi (q)=q^{-{\frac {1}{24}}}\eta (\tau )}$ 

其中${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ 是nome（英语：nome (mathematics)）的平方。

上述二個函數都有模群（英语：modular group）下的對稱性。

參照

• 歐拉函數（也稱為歐拉商數）

參考資料

• Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR0434929