设 U 和 V 是论域,U × V = {(x , y) | x ∈ U, y ∈ V } 是 U 和 V 的笛卡尔直积,则每个模糊子集 R ∈ U × V 都称为从 U 到 V 的一个模糊关系。若 U = V,则称 R 是 U 中的模糊关系。如果 R(x,y) = α,则称 x 与 y具有关系 R 的程度为 α。特别地:
若 ∀ (x,y) ∈ U × U,当 x = y 时 R = 1,当 x ≠ y 时 R = 0,则称 R 为 U 上的恒等关系,记为 I
若 ∀ (x,y) ∈ U × V,有 R(x,y) = 0,则称 R 为从 U 到 V 的零关系,记为 0
若 ∀ (x,y) ∈ U × V,有 R(x,y) = 1,则称 R 为从 U 到 V 的全称关系,记为 E
模糊数学, 亦称弗晰数学或模糊性数学, 1965年以后, 在模糊集合, 模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑, 模糊测度论等数学领域的统称, 是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具, 在模式识别, 人工智能等方面有广泛的应用, 目录, 模糊集, 定义和表示, 一些相关概念, 模糊度, 模糊集的运算, 各种算子, 算子的性质, 模糊集与经典集的关系, 截集与截积, 分解定理与表现定理, 模糊集之间的距离, 使用度量理论, 贴近度, 模糊关系, 定义, 关系以及关系的合成的矩阵表达, 模糊关系与分类,. 模糊数学 亦称弗晰数学或模糊性数学 1965年以后 在模糊集合 模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑 模糊测度论等数学领域的统称 是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具 在模式识别 人工智能等方面有广泛的应用 目录 1 模糊集 1 1 定义和表示 1 2 一些相关概念 1 3 模糊度 2 模糊集的运算 2 1 各种算子 2 2 算子的性质 3 模糊集与经典集的关系 3 1 截集与截积 3 2 分解定理与表现定理 4 模糊集之间的距离 4 1 使用度量理论 4 2 贴近度 5 模糊关系 5 1 定义 5 2 关系以及关系的合成的矩阵表达 5 3 模糊关系与分类 6 模糊推理 7 注释 8 參考文獻模糊集 编辑定义和表示 编辑 给定一个论域 U 那么从 U 到单位区间 0 1 的一个映射 m A U 0 1 displaystyle mu A U mapsto 0 1 称为 U 上的一个模糊集 或 U 的一个模糊子集 a 记为 A 映射 函数 mA 或简记为 A 叫做模糊集 A 的隶属函数 对于每个 x U mA x 叫做元素 x 对模糊集 A 的隶属度 模糊集的常用表示法有下述几种 解析法 也即给出隶属函数的具体表达式 Zadeh 记法 例如A 1 x 1 0 5 x 2 0 72 x 3 0 x 4 displaystyle A 1 over x 1 0 5 over x 2 0 72 over x 3 0 over x 4 分母是论域中的元素 分子是该元素对应的隶属度 有时候 若隶属度为0 该项可以忽略不写 序偶法 例如A x 1 1 x 2 0 5 x 3 0 72 x 4 0 displaystyle A x 1 1 x 2 0 5 x 3 0 72 x 4 0 序偶对的前者是论域中的元素 后者是该元素对应的隶属度 向量法 在有限论域的场合 给论域中元素规定一个表达的顺序 那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式 如 A 1 0 5 0 72 0 一些相关概念 编辑 模糊集 A 的承集或支集记为 supp A x U A x 0 displaystyle text supp A x in U mid A x neq 0 模糊集 A 的核记为 ker A x U A x 1 displaystyle text ker A x in U mid A x 1 模糊集 A 的高度记为 hgt A sup A x x U displaystyle text hgt A sup A x mid x in U 模糊集 A 的深度记为 dpn A inf A x x U displaystyle text dpn A inf A x mid x in U 模糊度 编辑 一个模糊集 A 的模糊度衡量 反映了 A 的模糊程度 一个直观的定义是这样的 设映射 D F U 0 1 满足下述5条性质 清晰性 D A 0 当且仅当 A P U 经典集的模糊度恒为0 模糊性 D A 1 当且仅当 u U 有 A u 0 5 隶属度都为0 5的模糊集最模糊 单调性 u U 若 A u B u 0 5 或者 A u B u 0 5 则 D A D B 对称性 A F U 有 D Ac D A 补集的模糊度相等 可加性 D A B D A B D A D B 则称 D 是定义在 F U 上的模糊度函数 而 D A 为模糊集 A 的模糊度 可以证明符合上述定义的模糊度是存在的 1 一个常用的公式 分别针对有限和无限论域 就是D p A 2 n 1 p i 1 n A u i A 0 5 u i p 1 p D A A u A 0 5 u d u displaystyle begin aligned D p A amp frac 2 n 1 p left sum limits i 1 n left A u i A 0 5 u i right p right 1 p D A amp int infty infty A u A 0 5 u mbox d u end aligned 其中 p gt 0 是参数 称为 Minkowski 模糊度 特别地 当 p 1 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标 当 p 2 的时候称为 Euclid 模糊度 模糊集的运算 编辑各种算子 编辑 Zadeh 算子 max 即为并 min 即为交a b max a b a b min a b displaystyle begin aligned a vee b amp max a b a wedge b amp min a b end aligned 代数算子 概率和 代数积 a b a b a b a b a b displaystyle begin aligned a stackrel wedge b amp a b ab a cdot b amp ab end aligned 有界算子a b min 1 a b a b max 0 a b 1 displaystyle begin aligned a oplus b amp min 1 a b a odot b amp max 0 a b 1 end aligned Einstein 算子a ϵ b a b 1 a b a ϵ b a b 1 1 a 1 b displaystyle begin aligned a stackrel epsilon b amp frac a b 1 ab a stackrel cdot epsilon b amp frac ab 1 1 a 1 b end aligned Hamacher 算子 其中n 0 是参数 等于1时转化为代数算子 等于2时转化为 Einstein 算子a n b a b a b 1 n a b n 1 n 1 a b a n b a b n 1 n a b a b displaystyle begin aligned a stackrel nu b amp frac a b ab 1 nu ab nu 1 nu 1 ab a stackrel cdot nu b amp frac ab nu 1 nu a b ab end aligned Yager 算子 其中 p 是参数 等于1时转化为有界算子 趋于无穷时转化为 Zadeh 算子a Y p b min 1 a p b p 1 p a y p b 1 min 1 1 a p 1 b p 1 p displaystyle begin aligned a Y p b amp min 1 a p b p 1 p a y p b amp 1 min 1 1 a p 1 b p 1 p end aligned l g 算子 其中 l g 0 1 是参数a l b l a b 1 l a b a b a g b a b 1 g a a b g displaystyle begin aligned a lambda b amp lambda ab 1 lambda a b ab a gamma b amp ab 1 gamma a ab gamma end aligned Dobois Prade 算子 其中 l 0 1 是参数a d b a b a b min 1 l a b max l 1 a 1 b a d b a b max l a b displaystyle begin aligned a vee d b amp frac a b ab min 1 lambda a b max lambda 1 a 1 b a wedge d b amp frac ab max lambda a b end aligned 算子的性质 编辑 参见集合代数和布尔代数 主要算子的性质对比表如下 表示不满足 表示未验证 算子 结合律 交换律 分配律 互补律 同一律 幂等律 支配律 吸收律 双重否定律 德 摩根律Zedah 代数 有界 线性补偿是指 x y k 0 1 x k y k U x k y k U x y displaystyle forall x y k in 0 1 x k wedge y k Rightarrow U x k y k U x y 2 算子的并运算 幂等律 排中律 分配律 结合律 线性补偿Zadeh 代数 有界 Hamacher r 0 Yager Hamacher Dobois Prade 模糊集与经典集的关系 编辑截集与截积 编辑 设 A F U displaystyle A in mathcal F U 任取 l 0 1 displaystyle lambda in 0 1 则 A l u U A u l displaystyle A lambda u in U mid A u geq lambda 称 Al 为 A 的 l 截集 而 l 称为阈值或置信水平 将上式中的 替换为 gt 记为 ASl 称为强截集 截集和强截集都是经典集合 此外 显然 A1 为 A 的核 即 kerA 如果 kerA o 则称 A 为正规模糊集 否则称为非正规模糊集 截积是数与模糊集的积 设 l 0 1 A F U 则 u U l 与 A 的截积 或称为 l 截集的数乘 记为 lA 定义为 l A u l A u A u l A u l l lt A u displaystyle lambda A u lambda wedge A u begin cases A u amp lambda geq A u lambda amp lambda lt A u end cases 根据定义 截积仍是 U 上的模糊集合 分解定理与表现定理 编辑 分解定理 设 A F U 则 A l 0 1 l A l displaystyle A bigcup limits lambda in 0 1 lambda A lambda 即任一模糊集 A 都可以表达为一族简单模糊集 lAl 的并 也即 一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而 拼成 表现定理 设 H 为 U 上的任何一个集合套 则 A l 0 1 l H l displaystyle A bigcup limits lambda in 0 1 lambda H lambda 是 U 上的一个模糊集 且 l 0 1 有 1 ASl a gt l H a 2 Al a lt l H a 即任一集合套都能拼成一个模糊集 模糊集之间的距离 编辑使用度量理论 编辑 可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离 在这个意义上 我们需要在模糊幂集 F U 上建立一个度量 此外 我们还可能需要将此度量标准化 也即映射到 0 1 区间上 例如可以这样来标准化 Minkowski 距离 d x y 1 n i 1 n x i y i p 1 p displaystyle tilde d x y left 1 over n sum limits i 1 n left x i y i right p right 1 over p 贴近度 编辑 主条目 贴近度 另一种是使用贴近度概念 在某种意义上 贴近度就是 1 距离 这里的距离是上述标准化意义上的距离 而之所以应用这个变换 是考虑到 度 的概念的直觉反映 距离越近 贴近的程度显然越 高 因此它恰为距离的反数 除了距离外 还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义 最大最小贴近度s A B i 1 n A u i B u i i 1 n A u i B u i displaystyle displaystyle sigma A B frac sum i 1 n A u i wedge B u i sum i 1 n A u i vee B u i 算术平均最小贴近度s A B i 1 n A u i B u i 1 2 i 1 n A u i B u i displaystyle displaystyle sigma A B frac sum i 1 n A u i wedge B u i 1 over 2 sum i 1 n A u i B u i 几何平均最小贴近度s A B i 1 n A u i B u i i 1 n A u i B u i displaystyle displaystyle sigma A B frac sum i 1 n A u i wedge B u i sum i 1 n sqrt A u i cdot B u i 指数贴近度s A B 1 e A B displaystyle displaystyle sigma A B frac 1 e A B 模糊关系 编辑主条目 模糊聚类分析 模糊关系是建立在模糊集上的关系 此外 它也有一些特别的性质和应用 定义 编辑 设 U 和 V 是论域 U V x y x U y V 是 U 和 V 的笛卡尔直积 则每个模糊子集 R U V 都称为从 U 到 V 的一个模糊关系 若 U V 则称 R 是 U 中的模糊关系 如果 R x y a 则称 x 与 y 具有关系 R 的程度为 a 特别地 若 x y U U 当 x y 时 R 1 当 x y 时 R 0 则称 R 为 U 上的恒等关系 记为 I 若 x y U V 有 R x y 0 则称 R 为从 U 到 V 的零关系 记为 0 若 x y U V 有 R x y 1 则称 R 为从 U 到 V 的全称关系 记为 E模糊关系的并 交 补 包含 相等 l 截和截积运算 实质上就是模糊集的相应运算 采用 Zadeh 算子 但模糊关系还有一个特殊的运算转置 定义为 RT x y R y x 易知转置运算满足复原律 交换律和单调性等 3 关系以及关系的合成的矩阵表达 编辑 关系的合成 对于从 U x m 到 V y p 的关系 R 以及从 V y p 到 W z n 的关系 S 那么从 U 到 W 的模糊复合关系 R S 为 R S x i z j k p R x i y k S y k z j displaystyle displaystyle R circ S x i z j bigvee k leq p R x i y k wedge S y k z j 其中 是取小 是取大 即 Zedah 算子 由此可知 模糊复合关系的运算 就是两个模糊关系的矩阵的乘法运算 只是要将矩阵乘法中的乘法改为 而加法改为 即可 例子 设 U 1 2 3 4 V a b c W a b 从 U 到 V 的模糊关系 R 1 a 0 7 1 b 0 5 1 c 0 2 a 1 2 b 0 2 c 0 3 a 0 3 b 1 3 c 0 4 a 0 4 b 0 4 4 c 0 3 从 V 到 W 的模糊关系 S a a 0 6 a b 0 8 b a 0 b b 1 c a 0 c b 0 9那么这些模糊关系可以写成如下矩阵表达 注意行列位置 R a b c1 0 7 0 5 02 1 0 03 0 1 04 0 0 4 0 3 S a ba 0 6 0 8b 0 1c 0 0 9 R S a b1 0 6 0 72 0 6 0 83 0 14 0 0 4模糊关系与分类 编辑 模糊等价关系定义 设 U 中的模糊关系 R 满足 1 自反性 x U R x x 1 2 对称性 x y U R x y R y x 3 传递性 x y z U l 0 1 当 R x y l 且 R y z l 时 R x z l则称 R 为 U 中的一个模糊等价关系 易知 对于一个固定的 l 0 1 来说 传递性条件刻画了模糊关系 R 具有 l 水平上的传递性 下述定理指出了模糊等价关系与普通等价关系的关系 U 中的模糊关系 R 是模糊等价关系的充要条件是 对于每个 l 0 1 R 的 l 截关系 Rl 是 U 中的普通等价关系 只满足自反性和对称性 不满足传递性的模糊关系称为模糊相似关系 而将等价关系与相似关系联系在一起的是下述定理 U 中的模糊关系 R 是模糊传递关系的充要条件是 R2 R 分类 如果模糊关系是等价关系 取某一水平的 l 截集 即可得到这个水平上的分类 如果模糊关系是相似关系 计算 R R2 k R2 k 1 则 R 可被证明是等价关系 模糊推理 编辑注释 编辑 要注意 严格地说 模糊集或子集是映射所确定的序对集 但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定 因而我们不区分映射和映射所确定的序对集 而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射 參考文獻 编辑 陈水利等 模糊集理论及其应用 科学出版社 2005年 第20页 Etienne E Kerre 等 模糊集理论与近似推理 武汉大学出版社 2004年 第103页 陈水利等 模糊集理论及其应用 科学出版社 2005年 第62页 取自 https zh wikipedia org w index php title 模糊数学 amp oldid 71770183, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,