椭圆算子, 是数学偏微分方程理论中的一类微分算子, 它是拉普拉斯算子的泛化, 定义为所有最高阶导数的系数为正的微分算子, 这意味着算子没有实的特征方向, 定义在环形上的拉普拉斯方程上的一个解, 拉普拉斯算子是的最有名的一个例子, 是典型的位势论, 并且它们频繁地出现在静电学和连续介质力学中, 的正则性意味着它的解通常是光滑函数, 如果算子的系数是光滑的, 双曲, 英语, hyperbolic, partial, differential, equation, 方程和抛物方程的稳定解通常要求解椭圆方程, 定义, 编辑. 椭圆算子是数学偏微分方程理论中的一类微分算子 它是拉普拉斯算子的泛化 椭圆算子定义为所有最高阶导数的系数为正的微分算子 这意味着算子没有实的特征方向 定义在环形上的拉普拉斯方程上的一个解 拉普拉斯算子是椭圆算子的最有名的一个例子 椭圆算子是典型的位势论 并且它们频繁地出现在静电学和连续介质力学中 椭圆算子的正则性意味着它的解通常是光滑函数 如果算子的系数是光滑的 双曲 英语 Hyperbolic partial differential equation 方程和抛物方程的稳定解通常要求解椭圆方程 定义 编辑R n displaystyle mathbb R n nbsp 域W displaystyle Omega nbsp 上的线性微分算子L displaystyle L nbsp L u a m a a a u displaystyle Lu sum alpha leq m a alpha partial alpha u nbsp 被称为椭圆算子 如果对任意x W displaystyle x in Omega nbsp 任意非零3 R n displaystyle xi in mathbb R n nbsp 满足 a m a a 3 a 0 displaystyle sum alpha m a alpha xi alpha neq 0 nbsp 在许多应用中仅满足上述条件还远远不够 当m 2 k displaystyle m 2k nbsp 时可用一致椭圆条件代替它 1 k a 2 k a a x 3 a gt C 3 2 k displaystyle 1 k sum alpha 2k a alpha x xi alpha gt C xi 2k nbsp 其中C是正常数 注意到椭圆性只依赖于最高阶项 非线性算子L u F x u a u a 2 k displaystyle L u F x u partial alpha u alpha leq 2k nbsp 是椭圆算子如果它关于u displaystyle u nbsp 的一阶泰勒展开式在任意一点处都是线性椭圆算子 实例 二阶算子 编辑为了说明问题 我们选取二阶偏微分算子形式 P ϕ k j a k j D k D j ϕ ℓ b ℓ D ℓ ϕ c ϕ displaystyle P phi sum k j a kj D k D j phi sum ell b ell D ell phi c phi nbsp 其中D k 1 1 x k displaystyle D k frac 1 sqrt 1 partial x k nbsp 如果满足高阶项系数矩阵x a 11 x a 12 x a 1 n x a 21 x a 22 x a 2 n x a n 1 x a n 2 x a n n x displaystyle begin bmatrix a 11 x amp a 12 x amp cdots amp a 1n x a 21 x amp a 22 x amp cdots amp a 2n x vdots amp vdots amp ddots amp vdots a n1 x amp a n2 x amp cdots amp a nn x end bmatrix nbsp 为正定实系数对称矩阵 则这样的算子叫做椭圆算子 参看 编辑 nbsp 数学主题 抛物偏微分方程 外尔引理 取自 https zh wikipedia org w index php title 椭圆算子 amp oldid 38138543, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,