树 (数据结构)

在計算機科學中，樹（英語：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是實作這種抽象数据类型的数据结构，用來模擬具有樹狀結構性質的数据集合。它是由n（n>0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 每个节点都只有有限个子节点或無子節點；
• 没有父节点的节点称为根节点；
• 每一个非根节点有且只有一个父节点；
• 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；
• 樹裡面沒有環路(cycle)

一棵树

术语

1. 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
2. 树的度：一棵树中，最大的节点度称为树的度；
3. 叶节点或终端节点：度为零的节点；
4. 非终端节点或分支节点：度不为零的节点；
5. 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
6. 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
7. 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
8. 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
9. 深度：对于任意节点n,n的深度为从根到n的唯一路径长，根的深度为0；
10. 高度：对于任意节点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0；
11. 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
12. 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
13. 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
14. 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的种类

有序/无序：

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树。
• 有序树/搜索树/查找树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树。即树的所有节点按照一定的顺序排列，这样进行插入、删除、查找时效率就会非常高

平衡/不平衡：

• 平衡树
  • 绝对平衡树：所有叶节点在同一层
  • 非绝对平衡树
• 不平衡树

节点的分叉情况：

• 等叉树：是每个节点的键值个数都相同、子节点个数也都相同
  • 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
    • 完全二叉树：对于一棵二叉树，假设其深度为d（d>1）。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树；
      • 满二叉树：所有叶节点都在最底层的完全二叉树；
    • 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
    • 排序二叉树(二叉查找树（英语：Binary Search Tree))：也称二叉搜索树、有序二叉树；
  • 霍夫曼树：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
  • 多叉树（英语：m-ary tree）
• 不等叉树：每个节点的键值个数不一定相同、子节点个数也不一定相同
  • B树：对不等叉树的节点键值数和插入、删除逻辑添加一些特殊的要求，使其能达到绝对平衡的效果。B树全称Balance Tree。如果某个B树上所有节点的分叉数最大值是m，则把这个B数叫做m阶B树。

存储

父节点表示法

存储结构

/* 树节点的定义 */ #define MAX_TREE_SIZE 100 typedef struct { TElemType data; int parent; /* 父节点位置域 */ } PTNode; typedef struct { PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n; /* 节点数 */ } PTree;

A	B E   H     I     J         C   D   F   G   K

基本操作

设已有链队列类型LinkQueue的定义及基本操作（参见队列）。

构造空树

清空或销毁一个树也是同样的操作

void ClearTree(PTree *T) {   T->n = 0; } 

构造树

void CreateTree(PTree *T) {   LinkQueue q;  QElemType p,qq;  int i=1,j,l;  char c[MAX_TREE_SIZE]; /* 临时存放孩子节点数组 */  InitQueue(&q); /* 初始化队列 */  printf("请输入根节点(字符型，空格为空): ");  scanf("%c%*c",&T->nodes[0].data); /* 根节点序号为0，%*c吃掉回车符 */  if(T->nodes[0].data!=Nil) /* 非空树 */  {  T->nodes[0].parent=-1 ; /* 根节点无父节点 */  qq.name=T->nodes[0].data;  qq.num=0;  EnQueue(&q,qq); /* 入队此节点 */  while(i<MAX_TREE_SIZE&&!QueueEmpty(q)) /* 数组未满且队不空 */  {  DeQueue(&q,&qq); /* 节点加入队列 */  printf("请按长幼顺序输入节点%c的所有孩子: ",qq.name);  gets(c);  l=strlen(c);  for(j=0;j<l;j++)  {  T->nodes[i].data=c[j];  T->nodes[i].parent=qq.num;  p.name=c[j];  p.num=i;  EnQueue(&q,p); /* 入队此节点 */  i++;  }  }  if(i>MAX_TREE_SIZE)  {  printf("节点数超过数组容量\n");  exit(OVERFLOW);  }  T->n=i;  }  else  T->n=0; } 

判断树是否为空

Status TreeEmpty(PTree *T) { /* 初始条件：树T存在。操作结果：若T为空树，则返回TRUE，否则返回FALSE */  return T->n==0; } 

获取树的深度

int TreeDepth(PTree *T) { /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的深度 */  int k,m,def,max=0;  for(k=0;k<T->n;++k)  {  def=1; /* 初始化本节点的深度 */  m=T->nodes[k].parent;  while(m!=-1)  {  m=T->nodes[m].parent;  def++;  }  if(max<def)  max=def;  }  return max; /* 最大深度 */ } 

获取根节点

TElemType Root(PTree *T) { /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的根 */  int i;  for(i=0;i<T->n;i++)  if(T->nodes[i].parent<0)  return T->nodes[i].data;  return Nil; } 

获取第i个节点的值

TElemType Value(PTree *T,int i) { /* 初始条件：树T存在，i是树T中节点的序号。操作结果：返回第i个节点的值 */  if(i<T->n)  return T->nodes[i].data;  else  return Nil; } 

改变节点的值

Status Assign(PTree *T,TElemType cur_e,TElemType value) { /* 初始条件：树T存在，cur_e是树T中节点的值。操作结果：改cur_e为value */  int j;  for(j=0;j<T->n;j++)  {  if(T->nodes[j].data==cur_e)  {  T->nodes[j].data=value;  return OK;  }  }  return ERROR; } 

获取节点的父节点

TElemType Parent(PTree *T,TElemType cur_e) { /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */  /* 操作结果：若cur_e是T的非根节点，则返回它的父节点，否则函数值为＂空＂*/  int j;  for(j=1;j<T->n;j++) /* 根节点序号为0 */  if(T->nodes[j].data==cur_e)  return T->nodes[T->nodes[j].parent].data;  return Nil; } 

获取节点的最左孩子节点

TElemType LeftChild(PTree *T,TElemType cur_e) { /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */  /* 操作结果：若cur_e是T的非叶子节点，则返回它的最左孩子，否则返回＂空＂*/  int i,j;  for(i=0;i<T->n;i++)  if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e，其序号为i */  break;  for(j=i+1;j<T->n;j++) /* 根据树的构造函数，孩子的序号＞其父节点的序号 */  if(T->nodes[j].parent==i) /* 根据树的构造函数，最左孩子(长子)的序号＜其它孩子的序号 */  return T->nodes[j].data;  return Nil; } 

获取节点的右兄弟节点

TElemType RightSibling(PTree *T,TElemType cur_e) { /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */  /* 操作结果：若cur_e有右(下一个)兄弟，则返回它的右兄弟，否则返回＂空＂*/  int i;  for(i=0;i<T->n;i++)  if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e，其序号为i */  break;  if(T->nodes[i+1].parent==T->nodes[i].parent)  /* 根据树的构造函数，若cur_e有右兄弟的话则右兄弟紧接其后 */  return T->nodes[i+1].data;  return Nil; } 

输出树

void Print(PTree *T) { /* 输出树T。加 */  int i;  printf("节点个数=%d\n",T->n);  printf(" 节点 父节点\n");  for(i=0;i<T->n;i++)  {  printf(" %c",Value(T,i)); /* 节点 */  if(T->nodes[i].parent>=0) /* 有父节点 */  printf(" %c",Value(T,T->nodes[i].parent)); /* 父节点 */  printf("\n");  } } 

向树中插入另一棵树

Status InsertChild(PTree *T,TElemType p,int i,PTree c) { /* 初始条件：树T存在，p是T中某个节点，1≤i≤p所指节点的度+1，非空树c与T不相交 */  /* 操作结果：插入c为T中p节点的第i棵子树 */  int j,k,l,f=1,n=0; /* 设交换标志f的初值为1，p的孩子数n的初值为0 */  PTNode t;  if(!TreeEmpty(T)) /* T不空 */  {  for(j=0;j<T->n;j++) /* 在T中找p的序号 */  if(T->nodes[j].data==p) /* p的序号为j */  break;  l=j+1; /* 如果c是p的第1棵子树，则插在j+1处 */  if(i>1) /* c不是p的第1棵子树 */  {  for(k=j+1;k<T->n;k++) /* 从j+1开始找p的前i-1个孩子 */  if(T->nodes[k].parent==j) /* 当前节点是p的孩子 */  {  n++; /* 孩子数加1 */  if(n==i-1) /* 找到p的第i-1个孩子，其序号为k1 */  break;  }  l=k+1; /* c插在k+1处 */  } /* p的序号为j，c插在l处 */  if(l<T->n) /* 插入点l不在最后 */  for(k=T->n-1;k>=l;k--) /* 依次将序号l以后的节点向后移c.n个位置 */  {  T->nodes[k+c.n]=T->nodes[k];  if(T->nodes[k].parent>=l)  T->nodes[k+c.n].parent+=c.n;  }  for(k=0;k<c.n;k++)  {  T->nodes[l+k].data=c.nodes[k].data; /* 依次将树c的所有节点插于此处 */  T->nodes[l+k].parent=c.nodes[k].parent+l;  }  T->nodes[l].parent=j; /* 树c的根节点的父节点为p */  T->n+=c.n; /* 树T的节点数加c.n个 */  while(f)  { /* 从插入点之后，将节点仍按层序排列 */  f=0; /* 交换标志置0 */  for(j=l;j<T->n-1;j++)  if(T->nodes[j].parent>T->nodes[j+1].parent)  {/* 如果节点j的父节点排在节点j+1的父节点之后（树没有按层序排列），交换两节点*/  t=T->nodes[j];  T->nodes[j]=T->nodes[j+1];  T->nodes[j+1]=t;  f=1; /* 交换标志置1 */  for(k=j;k<T->n;k++) /* 改变父节点序号 */  if(T->nodes[k].parent==j)  T->nodes[k].parent++; /* 父节点序号改为j+1 */  else if(T->nodes[k].parent==j+1)  T->nodes[k].parent--; /* 父节点序号改为j */  }  }  return OK;  }  else /* 树T不存在 */  return ERROR; } 

删除子树

Status deleted[MAX_TREE_SIZE+1]; /* 删除标志数组(全局量) */ void DeleteChild(PTree *T,TElemType p,int i) { /* 初始条件：树T存在，p是T中某个节点，1≤i≤p所指节点的度 */  /* 操作结果：删除T中节点p的第i棵子树 */  int j,k,n=0;  LinkQueue q;  QElemType pq,qq;  for(j=0;j<=T->n;j++)  deleted[j]=0; /* 置初值为0(不删除标记) */  pq.name='a'; /* 此成员不用 */  InitQueue(&q); /* 初始化队列 */  for(j=0;j<T->n;j++)  if(T->nodes[j].data==p)  break; /* j为节点p的序号 */  for(k=j+1;k<T->n;k++)  {  if(T->nodes[k].parent==j)  n++;  if(n==i)  break; /* k为p的第i棵子树节点的序号 */  }  if(k<T->n) /* p的第i棵子树节点存在 */  {  n=0;  pq.num=k;  deleted[k]=1; /* 置删除标记 */  n++;  EnQueue(&q,pq);  while(!QueueEmpty(q))  {  DeQueue(&q,&qq);  for(j=qq.num+1;j<T->n;j++)  if(T->nodes[j].parent==qq.num)  {  pq.num=j;  deleted[j]=1; /* 置删除标记 */  n++;  EnQueue(&q,pq);  }  }  for(j=0;j<T->n;j++)  if(deleted[j]==1)  {  for(k=j+1;k<=T->n;k++)  {  deleted[k-1]=deleted[k];  T->nodes[k-1]=T->nodes[k];  if(T->nodes[k].parent>j)  T->nodes[k-1].parent--;  }  j--;  }  T->n-=n; /* n为待删除节点数 */  } } 

层序遍历树

void TraverseTree(PTree *T,void(*Visit)(TElemType)) { /* 初始条件：二叉树T存在,Visit是对节点操作的应用函数 */  /* 操作结果：层序遍历树T,对每个节点调用函数Visit一次且仅一次 */  int i;  for(i=0;i<T->n;i++)  Visit(T->nodes[i].data);  printf("\n"); } 

孩子链表表示法

存储结构

/*树的孩子链表存储表示*/ typedef struct CTNode { // 孩子节点  int child;  struct CTNode *next; } *ChildPtr; typedef struct {  ElemType data； // 节点的数据元素  ChildPtr firstchild； // 孩子链表头指针 } CTBox; typedef struct {  CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]；  int n, r； // 节点数和根节点的位置 } CTree; 

 

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森林、树与二叉树的转换

见二叉树相应章节

外部链接

• （中文）by EINDEX
• Data Structures and Algorithm Analysis in C (2nd edition) （页面存档备份，存于互联网档案馆）

参考文献