如果 m = n,即 A 与 B 是同样大小的方块矩阵,则只有一个容许集合S,柯西-比内公式退化为通常行列式的可乘性。如果 m = 1 则有 n 容许集合 S,这个公式退化为点积。如果 m > n,没有容许集合 S,行列式 det(AB) 是零(参见空和(empty sum))。
这个公式对矩阵元素取值于任何交换环都成立。证明可将 AB 的列写成系数来自 B 的 A 的列的线性组合,利用行列式的可乘性,将属于一个 det(AS) 的项收集起来,并利用行列式的反对称性。利用行列式的莱布尼兹公式,得出 det(AS) 的系数是 det(BS)。这个证明没有利用行列式的可乘性,相反这个证明建立了它。
如果 A 是一个实 m×n 矩阵,则 det(AAT) 等于由 A 中行向量在 Rn 中张成的平行多面体m-维体积的平方。柯西-比内公式说这等于该平行多面体在所有 m-维坐标平面(共有 C(n,m) 个)的正交投影的平行多面体的 m-维体积的平方之总和。m=1 的情形是关于一条线段的长度,这恰是毕达哥拉斯定理。
柯西, 比内公式, 线性代数中, cauchy, binet, formula, 将行列式的可乘性, 两个方块矩阵的行列式等于两个行列式的乘积, 推广到非方块矩阵, 假设, 是一个, 矩阵, 是一个, 矩阵, 如果, 中具有, 个元素的子集, 我们记, 中列指标位于, 中的, 子矩阵, 类似地, 中行指标位于, 中的, 子矩阵, displaystyle, 这里求遍, 个元素的所有可能子集, 共有, 如果, 是同样大小的方块矩阵, 则只有一个容许集合, 退化为通常行列式的可乘性, 如果, 则有, 容许集合, 这个公. 线性代数中 柯西 比内公式 Cauchy Binet formula 将行列式的可乘性 两个方块矩阵的行列式等于两个行列式的乘积 推广到非方块矩阵 假设 A 是一个 m n 矩阵 而 B 是一个 n m 矩阵 如果 S 是 1 n 中具有 m 个元素的子集 我们记 AS 为 A 中列指标位于 S 中的 m m 子矩阵 类似地 记 BS 为 B 中行指标位于 S 中的 m m 子矩阵 柯西 比内公式说 det A B S det A S det B S displaystyle det AB sum S det A S det B S 这里求遍 1 n 中 m 个元素的所有可能子集 S 共有 C n m 个 如果 m n 即 A 与 B 是同样大小的方块矩阵 则只有一个容许集合 S 柯西 比内公式退化为通常行列式的可乘性 如果 m 1 则有 n 容许集合 S 这个公式退化为点积 如果 m gt n 没有容许集合 S 行列式 det AB 是零 参见空和 empty sum 这个公式对矩阵元素取值于任何交换环都成立 证明可将 AB 的列写成系数来自 B 的 A 的列的线性组合 利用行列式的可乘性 将属于一个 det AS 的项收集起来 并利用行列式的反对称性 利用行列式的莱布尼兹公式 得出 det AS 的系数是 det BS 这个证明没有利用行列式的可乘性 相反这个证明建立了它 如果 A 是一个实 m n 矩阵 则 det A AT 等于由 A 中行向量在 Rn 中张成的平行多面体 m 维体积的平方 柯西 比内公式说这等于该平行多面体在所有 m 维坐标平面 共有 C n m 个 的正交投影的平行多面体的 m 维体积的平方之总和 m 1 的情形是关于一条线段的长度 这恰是毕达哥拉斯定理 柯西 比内公式可直接推广到两个矩阵乘积的子式的一个一般公式 该公式在子式一文给出 例 如果 A 1 1 2 3 1 1 displaystyle A begin bmatrix 1 amp 1 amp 2 3 amp 1 amp 1 end bmatrix 与 B 1 1 3 1 0 2 displaystyle B begin bmatrix 1 amp 1 3 amp 1 0 amp 2 end bmatrix 则柯西 比内公式给出行列式 det A B 1 1 3 1 1 1 3 1 1 2 1 1 3 1 0 2 1 2 3 1 1 1 0 2 28 displaystyle det AB left begin matrix 1 amp 1 3 amp 1 end matrix right cdot left begin matrix 1 amp 1 3 amp 1 end matrix right left begin matrix 1 amp 2 1 amp 1 end matrix right cdot left begin matrix 3 amp 1 0 amp 2 end matrix right left begin matrix 1 amp 2 3 amp 1 end matrix right cdot left begin matrix 1 amp 1 0 amp 2 end matrix right 28 外部链接 编辑柯西 比内公式的简单组合证明 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 柯西 比内公式 amp oldid 76161250, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,