查普曼-科尔莫戈罗夫等式

在数学之概率论中，尤其是随机过程理论中，查普曼-科尔莫戈罗夫等式是一个重要的结论。它将一个随机过程的几个不同维的联合分布函数联系在一起。

假设 { f_i } 是一个随机过程，即一个随机变量集合（每个元素对应一个只命名不排序的索引）。 记

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})}$

为从f₁到f_n的各随机变量的联合分布函数，则查普曼-科尔莫戈罗夫等式为：

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n-1}}(f_{1},\ldots ,f_{n-1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})\,df_{n}}$

也就是说，这是一个直接定义在干扰随机变量上的条件概率。 （注意这里各随机变量的顺序不重要）

该公式名称来自数学家西德尼·查普曼和安德雷·柯尔莫哥洛夫。

特化为马尔可夫链

如果随机过程特定为马尔可夫链，查普曼-科尔莫戈罗夫等式就是关于转移概率的公式。在马尔可夫链中，随机变量在一个按时间排序的数组${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{n}}$ 中。按马尔可夫性质（无记忆性质）,

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})=p_{i_{1}}(f_{1})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\cdots p_{i_{n};i_{n-1}}(f_{n}{\mid }f_{n-1}),}$ 

（其中条件概率${\displaystyle p_{i;j}(f_{i}{\mid }f_{j})}$ 是${\displaystyle i>j}$ 时间的转移概率。查普曼-科尔莫戈罗夫等式简化为：

${\displaystyle p_{i_{3};i_{1}}(f_{3}{\mid }f_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{3};i_{2}}(f_{3}\mid f_{2})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})df_{2}.}$ 

如果马尔可夫链的状态空间的概率分布是离散的，查普曼-科尔莫戈罗夫等式可表示为（可到无穷维的）矩阵相乘：

${\displaystyle P(t+s)=P(t)P(s)\,}$ 

（其中${\displaystyle P(t)}$ 是转移矩阵，${\displaystyle X_{t}}$ 是t时间的系统状态），则对于系统状态空间中的任意两个点i和j：

${\displaystyle P_{ij}(t)=P(X_{t}=j\mid X_{0}=i).}$ 

相关条目

• 马尔可夫链范例（英语：Examples of Markov chains）
• 福克-普朗克方程
• 柯莫哥洛夫后向方程（英语：Kolmogorov backward equation）
• 主方程式（物理）

参考文献

• Curriculum Vitae and Biography. Kolmogorov School. Ph.D. students and descendants of A.N. Kolmogorov. A.N. Kolmogorov works, books, papers, articles. Photographs and Portraits of A.N. Kolmogorov.
• 埃里克·韦斯坦因. Chapman-Kolmogorov Equation. MathWorld.