有界变差

有界變差（英語：Bounded variation）是函數的一個性質，它指的是總變差為有限的函數。

有界變差的理論對黎曼－斯蒂尔杰斯积分有相當的用處。

定義

設 ${\displaystyle \Delta f(x_{i})=f(x_{i})-f(x_{i-1})}$ ，若一個定義於實數區間 ${\displaystyle [a,b]}$  上的函數${\displaystyle f}$  是有界變差函數，則存在一正數 ${\displaystyle M}$ ，對任意在區間 ${\displaystyle [a,b]}$ 上的（有限）分割${\displaystyle P=\{a=x_{0},x_{1},.....,x_{n}=b\}}$  而言，有 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|\Delta f(x_{i})|\leq M}$ 。

另一個等價的定義為：定義一個跟函數 ${\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }$  相關的量如下：

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{}\left\{\;\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|\,:\,P\in {\mathcal {P}}\right\},\;}$ 

這裡的符號 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$  代表在閉區間 [a, b] 上所有的（有限）分割。

${\displaystyle f}$ 為有界變差函數若且唯若 ${\displaystyle V_{a}^{b}(f)<\infty }$ 。

其定義可推廣至複數域乃至於任何的歐幾里德空間上。

性質

• 任意單調函數都是有界變差的。
• 设${\displaystyle f}$ 在區間${\displaystyle [a,b]}$ 上滿足Lipschitz條件，即存在常數${\displaystyle K>0}$ ，使得對於任意${\displaystyle x',x''}$ ，有${\displaystyle |f(x')-f(x'')|\leq K|x'-x''|}$ ，則${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle [a,b]}$ 上是有界變差的。
• 若${\displaystyle f}$ 在區間${\displaystyle [a,b]}$ 上連續，且在區間的內部${\displaystyle (a,b)}$ 可微，若對於任意在${\displaystyle f}$ 定義域${\displaystyle [a,b]}$ 的內部${\displaystyle (a,b)}$ 的點${\displaystyle x}$ 而言，存在一正實數${\displaystyle A}$ 使得${\displaystyle |f'(x)|\leq A}$ ，則${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle [a,b]}$ 上是有界變差的。
• 若${\displaystyle f}$ 在區間${\displaystyle [a,b]}$ 上是有界變差的，則${\displaystyle f}$ 在該區間上亦是有界的。
• 若${\displaystyle f}$ 在區間${\displaystyle [a,b]}$ 上是有界變差的，則其不連續點的數量是可數的。

參見

• 總變差

參照

• T. M. Apostol, Mathematical Analysis, second edition.
• http://eom.springer.de/V/v096110.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆）