设 r = r(t) 是空间曲线的参数方程。假设参数是正则的且曲线的曲率处处非 0。精确地说就是,r(t)关于t三次可微,且向量线性无关。
那么挠率可以由下面的公式表达出来:
这里撇号表示对 t 求导数,× 号为向量的叉积。对 r = (x, y, z),上述公式的分量形式为
例子:圆螺旋线的曲率、挠率都是常数,分别为
参考文献编辑
Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer-Verlag,2001 ISBN 1-85233-152-6
十月 05, 2023
曲线的挠率, 本文讨论于三维空间中, 关于挠率的其他用法, 参见主条目挠率, 在初等三维曲线的微分几何中, 一条, torsion, 或译扭率, 度量了其扭曲的程度, 即偏离平面曲线的程度, 空间曲线的曲率和挠率在一起, 与平面曲线的曲率类似, 例如, 他们都是弗勒内标架的微分方程组中的系数, 由弗勒内, 塞雷公式给出, 目录, 定义, 性质, 另一种描述, 参考文献定义, 编辑设, 是一条用弧长参数s, displaystyle, nbsp, 给出的空间曲线, 单位切向量为t, displaystyle, bol. 本文讨论于三维空间中曲线的挠率 关于挠率的其他用法 参见主条目挠率 在初等三维曲线的微分几何中 一条曲线的挠率 torsion 或译扭率 度量了其扭曲的程度 即偏离平面曲线的程度 空间曲线的曲率和挠率在一起 与平面曲线的曲率类似 例如 他们都是弗勒内标架的微分方程组中的系数 由弗勒内 塞雷公式给出 目录 1 定义 2 性质 3 另一种描述 4 参考文献定义 编辑设 C 是一条用弧长参数s displaystyle s nbsp 给出的空间曲线 单位切向量为t displaystyle boldsymbol t nbsp 如果在某一点 C 的曲率k displaystyle kappa nbsp 不等于 0 那么主法向量和次法向量分别是n t k b t n displaystyle mathbf n frac mathbf t kappa quad mathbf b mathbf t times mathbf n nbsp 其中撇号代表对参数s displaystyle s nbsp 的导数 空间曲线在一点处的切向量t displaystyle boldsymbol t nbsp 和主法向量n displaystyle boldsymbol n nbsp 所张成的平面就是密切平面 密切平面的法向量b t n displaystyle boldsymbol b boldsymbol t times boldsymbol n nbsp 是曲线的次法向量 如果曲线本身位于一个平面内 那么这个平面就是曲线的密切平面 相应的次法向量就是常向量 如果曲线不是平面曲线 则b displaystyle boldsymbol b nbsp 不是常向量 因为b displaystyle boldsymbol b nbsp 是单位向量 所以b displaystyle boldsymbol b nbsp 垂直于b displaystyle boldsymbol b nbsp 又因为b t n displaystyle boldsymbol b boldsymbol t times boldsymbol n nbsp 所以b t n t n t n displaystyle boldsymbol b boldsymbol t times boldsymbol n boldsymbol t times boldsymbol n boldsymbol t times boldsymbol n nbsp 故b displaystyle boldsymbol b nbsp 也垂直于t displaystyle boldsymbol t nbsp 所以b displaystyle boldsymbol b nbsp 与n displaystyle boldsymbol n nbsp 共线 挠率t displaystyle tau nbsp 度量了次法向量在那一点旋转的速度 由方程 b t n displaystyle mathbf b tau mathbf n nbsp 得出 t n b displaystyle tau mathbf n cdot mathbf b nbsp 注 次法向量的导数垂直于次法向量和切向量 从而和主法向量成比例 式中的负号仅仅是出于习惯 是这个学科历史发展的副产品 挠率半径 通常记为 s 定义为 s 1 t displaystyle sigma frac 1 tau nbsp 几何解释 挠率t s displaystyle tau s nbsp 度量了次法向量的方向的改变 挠率越大 次法向量关于切向量所在的轴的转动越快 性质 编辑平面曲线的挠率处处为 0 反过来 如果一条正则曲线的挠率处处为 0 那么这条曲线在一个平面上 螺旋线的曲率和挠率都是常数 反之 任何空间曲线如果其曲率和挠率都是非零常数 必然是螺旋线 挠率为正是右手螺旋 为负是左手螺旋 定倾曲线或称一般螺线 即切向量与一个固定方向交为定角的曲线 的挠率与曲率之比为常数 反之 如果正则曲线的挠率与曲率之比为常数 那么曲线必是定倾曲线 另一种描述 编辑设 r r t 是空间曲线的参数方程 假设参数是正则的且曲线的曲率处处非 0 精确地说就是 r t 关于t三次可微 且向量r t r t displaystyle mathbf r t mathbf r t nbsp 线性无关 那么挠率可以由下面的公式表达出来 t det r r r r r 2 r r r r r 2 displaystyle tau det left r r r right over left r times r right 2 left r times r right cdot r over left r times r right 2 nbsp 这里撇号表示对 t 求导数 号为向量的叉积 对 r x y z 上述公式的分量形式为 t x y z y z y x z x z z x y x y y z y z 2 x z x z 2 x y x y 2 displaystyle tau frac x y z y z y x z x z z x y x y y z y z 2 x z x z 2 x y x y 2 nbsp 例子 圆螺旋线r t a cos t a sin t b t a gt 0 displaystyle boldsymbol r t a cos t a sin t bt a gt 0 nbsp 的曲率 挠率都是常数 分别为k a a 2 b 2 t b a 2 b 2 displaystyle kappa frac a a 2 b 2 quad tau frac b a 2 b 2 nbsp 参考文献 编辑Andrew Pressley Elementary Differential Geometry Springer Undergraduate Mathematics Series Springer Verlag 2001 ISBN 1 85233 152 6 取自 https zh wikipedia org w index php title 曲线的挠率 amp oldid 53582705, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,