普通最小二乘法

在回归分析当中，最常用的估计${\displaystyle \beta }$（回归系数）的方法是普通最小二乘法（英語：ordinary least squares，簡稱OLS），它基於誤差值之上。用這種方法估计${\displaystyle \beta }$，首先要計算残差平方和（residual sum of squares；RSS），RSS是指将所有误差值的平方加起來得出的数：

${\displaystyle RSS=\sum _{i=1}^{n}e_{i}^{2}\,}$

${\displaystyle \beta _{0}}$與${\displaystyle \beta _{1}}$的数值可以用以下算式计算出來：

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{1}={\frac {\sum (x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{0}={\bar {y}}-{\widehat {\beta }}_{1}{\bar {x}}}$

当中${\displaystyle {\bar {x}}}$為${\displaystyle x}$的平均值，而${\displaystyle {\bar {y}}}$為${\displaystyle y}$的平均值。

假设总体的误差值有一个固定的變異數，這个變異數可以用以下算式估计：

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\varepsilon }^{2}={\frac {RSS}{n-2}}.\,}$

這個数就是均方误差（mean square error），這個分母是样本大小减去模型要估计的参数的量。這個回归模型当中有两个未知的参数（${\displaystyle \beta _{0}}$與${\displaystyle \beta _{1}}$）。^[1]

而這些参数估计的标准误差（standard error）為：

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\beta _{1}}={\hat {\sigma }}_{\varepsilon }{\sqrt {\frac {1}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\beta _{0}}={\hat {\sigma }}_{\varepsilon }{\sqrt {{\frac {1}{n}}+{\frac {{\bar {x}}^{2}}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}={\hat {\sigma }}_{\beta _{1}}{\sqrt {\frac {\sum x_{i}^{2}}{n}}}}$

有了上面這个模型，研究者手上就有会有${\displaystyle \beta _{0}}$與${\displaystyle \beta _{1}}$的估计值，就可以用這個算式來预测${\displaystyle Y}$的数值。

參見

• 最小均方误差
• 非线性最小二乘法（英语：Non-linear least squares）

參考資料

1. Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., Principles and Procedures of Statistics with Special Reference to the Biological Sciences., McGraw Hill, 1960, page 288.