普吕克坐标

数学上，普吕克坐标是将射影三维空间中的每条线给予6个齐次坐标，也就是一个射影5维空间中的一点。普吕克坐标由尤利乌斯·普吕克于1844年给出。

定义

令L为一直线，穿过点${\displaystyle p(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})}$ 和点${\displaystyle q(y_{0},y_{1},y_{2},y_{3})}$ 。

定义${\displaystyle p_{ij}}$ 为${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{j}\\y_{i}&y_{j}\end{pmatrix}}=x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}}$ 的行列式。

这蕴涵着${\displaystyle p_{ii}=0}$ 和${\displaystyle p_{ij}=-p_{ji}}$ .

考虑六元组${\displaystyle (p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})}$ 。不是所有6个都可以同时为0，因为如果是的话，所有${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{0}&x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{0}&y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}}}$ 的${\displaystyle 2\times 2}$ 子矩阵都是零，则该矩阵最多秩为1，这个p及q为不同点的假设不符。

p和q的选取对于6元组的影响只是一个非零因子，如下所示：

考虑${\displaystyle p'(x'_{0},x'_{1},x'_{2},x'_{3})}$ 和${\displaystyle q'(y'_{0},y'_{1},y'_{2},y'_{3})}$ 为L上不同点，其中${\displaystyle x'_{i}=k_{1}x_{i}+l_{1}y_{i}}$ 而${\displaystyle y'_{i}=k_{2}x_{i}+l_{2}y_{i}}$ 。 p'和q'不同的假设归结为${\displaystyle k_{1}l_{2}-k_{2}l_{1}\neq 0}$ 。 可以检验：${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'_{i}&x'_{j}\\y'_{i}&y'_{j}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k_{1}&l_{1}\\k_{2}&l_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{i}&x_{j}\\y_{i}&y_{j}\end{pmatrix}}}$  这样，${\displaystyle (p'_{01},p'_{02},p'_{03},p'_{23},p'_{31},p'_{12})=(k_{1}l_{2}-k_{2}l_{1})(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})}$ 

称W为所有PG(3,K)中的直线的集合。我们现在恰当地定义一个映射${\displaystyle \alpha }$ ：从W到一个K上的5维射影空间： ${\displaystyle \alpha :W\rightarrow PG(5,K):L\rightarrow L^{\alpha }=(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})}$ 

到克莱因二次曲面的单射性和满射性