弦切角定理

弦切角定理（英語：Alternate Segment Theorem）指出，弦切角等于它所夹弧对应的圆周角。 ^[1]

证明

已知:線段${\displaystyle AB}$ 与${\displaystyle \odot O}$ 相切，弦切角${\displaystyle \angle BAC}$ 所夹的弧是${\displaystyle {\overset {\frown }{AC}}}$ ，${\displaystyle \angle P}$ 是${\displaystyle {\overset {\frown }{AC}}}$ 所对的圆周角。

求证: ${\displaystyle \angle BAC=\angle P}$ 

证明:

 

（1）当圆心${\displaystyle {\mathit {O}}}$ 在${\displaystyle \angle BAC}$ 的${\displaystyle AC}$ 上时，如图1.

∵${\displaystyle {\mathit {AB}}}$ 与圆${\displaystyle {\mathit {O}}}$ 相切於点${\displaystyle {\mathit {A}}}$ .

∴${\displaystyle \angle BAC=90^{\circ }}$ 

∵${\displaystyle AC}$ 是${\displaystyle \odot O}$ 的直径.

∴${\displaystyle \angle P=90^{\circ }}$ 

∴${\displaystyle \angle BAC=\angle P}$ 

 

（2）当圆心${\displaystyle {\mathit {O}}}$ 在${\displaystyle \angle BAC}$ 的外部时，如图2，作${\displaystyle \odot O}$ 的直径${\displaystyle AQ}$ ，连结${\displaystyle CQ}$ .

∵${\displaystyle \angle BAQ=\angle ACQ=90^{\circ }}$ 

∴${\displaystyle \angle BAC=90^{\circ }-\angle 1}$ , ${\displaystyle \angle Q=90^{\circ }-\angle 1}$ 

∴${\displaystyle \angle BAC=\angle Q}$ 

又∵${\displaystyle \angle P=\angle Q}$ 

∴ ${\displaystyle \angle BAC=\angle P}$ 

 

（3）当圆心${\displaystyle {\mathit {O}}}$ 在${\displaystyle \angle BAC}$ 的内部时，如图3，作${\displaystyle \odot O}$ 的直径${\displaystyle AQ}$ ，再连结${\displaystyle CQ}$ .

∵${\displaystyle \angle BAC=180^{\circ }-\angle DAC}$ ,

${\displaystyle \angle P=180^{\circ }-\angle Q}$ ,

又由(2)可知，${\displaystyle \angle DAC=\angle Q}$ ,

∴${\displaystyle \angle BAC=\angle P}$ 

综上所述，可知${\displaystyle \angle BAC=\angle P}$ .

参考文献

1. 人民教育出版社中学数学室. 义务教育初中数学实验课本 几何第三册 第1版. 北京: 人民教育出版社. 1996.12: 134–136. ISBN 7-107-12025-5.  请检查|date=中的日期值 (帮助)