库恩长度

库恩长度（英語：Kuhn length）是瑞士化学家汉斯·库恩在对高分子链进行简化处理时所提出的概念。库恩将一条高分子链视作是N个“库恩链段”的集合体，其中每个库恩链段的长度即为库恩长度。每个库恩链段之间被视作自由连接，也就是说每个库恩链段都可以随机取向，不受其它力的影响，也和其它链段所采取的的取向无关^[1][2][3][4]。采用库恩长度，有利于简化对行为复杂的真实高分子链的研究。

真实高分子和库恩简化的比较

 

随机行走模型，R表示分子链两端之间的距离

对于实际的均聚高分子，若其键长为${\displaystyle l}$ ，键角为θ。当高分子链完全伸展时，总长度${\displaystyle Rmax=nl\,\cos(\theta /2)}$ 。当其形成无规线团时，其均方末端距可表示为

${\displaystyle \langle R^{2}\rangle =nl^{2}{\frac {1+\cos(\theta )}{1-\cos(\theta )}}\cdot {\frac {1+\langle \cos(\textstyle \phi \,\!)\rangle }{1-\langle \cos(\textstyle \phi \,\!)\rangle }}}$ ,

此处${\displaystyle \langle \cos(\textstyle \phi \,\!)\rangle }$ 是二面角的平均值。

对于完全伸展自由连接链，链的总长度等于各库恩长度和，${\displaystyle L=Nb}$ ^[5] 在最简单的处理中，这条高分子链可以遵循随机行走模型，每一步都随机而行，与之前的步伐的方向无关，进而形成了无规线团。该高分子链的均方末端距为${\displaystyle \langle R^{2}\rangle =Nb^{2}}$ 。由于高分子链中某链段占据的空间不能被下一个链段占用，因此也可使用自回避随机游走模型。

将所求的${\displaystyle \langle R^{2}\rangle }$ 和${\displaystyle R}$ 的表达对照库恩链段组成的等效链，就可以求出库恩链段的数目${\displaystyle N}$  和库恩长度${\displaystyle b}$ 。通过这一处理，原来具有固定键角、扭转角和键长的实际高分子分子链，可以被等效为任意取向的库恩链段的自由连接，简化了对高分子链的研究。对于蠕虫链, 库恩长度等于持续长度的二倍^[6]。

參考

1. Flory, P.J. (1953) Principles of Polymer Chemistry, Cornell Univ. Press, ISBN 0-8014-0134-8
2. Flory, P.J. (1969) Statistical Mechanics of Chain Molecules, Wiley, ISBN 0-470-26495-0; reissued 1989, ISBN 1-56990-019-1
3. Rubinstein, M., Colby, R. H. (2003)Polymer Physics, Oxford University Press, ISBN 0-19-852059-X
4. Doi, M.; Edwards, S. F. The Theory of Polymer Dynamics. Volume 73 of International series of monographs on physics. Oxford science publications. 1988: 391. ISBN 0198520336. 
5. Michael Cross, Physics 127a: Class Notes; Lecture 8: Polymers (PDF), California Institute of Technology, October 2006 [2013-02-20], （原始内容 (PDF)于2019-02-03） 
6. Gert R. Strobl (2007) The physics of polymers: concepts for understanding their structures and behavior, Springer, ISBN 3-540-25278-9