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广义逆阵, 广义逆, generalized, inverse, 是线性代数中针对矩阵的一种运算, 一个矩阵a的广义逆叫做a的, 是指具有部份逆矩阵的特性, 但是不一定具有逆矩阵的所有特性的另一矩阵, 假設一矩陣a, displaystyle, mathbb, times, 及另一矩陣a, displaystyle, mathrm, mathbb, times, 若a, displaystyle, mathrm, 滿足a, displaystyle, mathrm, 則a, displaystyle, mathrm. 广义逆 Generalized inverse 1 是线性代数中针对矩阵的一种运算 一个矩阵A的广义逆叫做A的广义逆阵 是指具有部份逆矩阵的特性 但是不一定具有逆矩阵的所有特性的另一矩阵 假設一矩陣A R n m displaystyle A in mathbb R n times m 及另一矩陣A g R m n displaystyle A mathrm g in mathbb R m times n 若A g displaystyle A mathrm g 滿足A A g A A displaystyle AA mathrm g A A 則A g displaystyle A mathrm g 即為A displaystyle A 的广义逆阵 广义逆也稱為偽逆 pseudoinverse 2 有些时候 偽逆特指摩尔 彭若斯广义逆 建構广义逆阵的目的是針對可逆矩陣以外的矩陣 例如非方陣的矩陣 可以找到一矩陣有一些類似逆矩阵的特性 任意的矩陣都存在广义逆阵 若一矩陣存在逆矩阵 逆矩阵即為其唯一的广义逆阵 有些广义逆阵可以定義在和結合律乘法有關的數學結構 例如半群 中 目录 1 提出廣義逆陣的原因 2 產生廣義逆陣 3 广义逆阵的種類 4 應用 5 參考資料 6 相關條目 7 外部連結提出廣義逆陣的原因 编辑考慮以下的線性方程 A x y displaystyle Ax y nbsp 其中A displaystyle A nbsp 為n m displaystyle n times m nbsp 的矩陣 而y R A displaystyle y in mathcal R A nbsp A displaystyle A nbsp 的列空間 若矩陣A displaystyle A nbsp 為可逆矩陣 則x A 1 y displaystyle x A 1 y nbsp 即為方程式的解 而若矩陣A displaystyle A nbsp 為可逆矩陣 A A 1 A A displaystyle AA 1 A A nbsp 假設矩陣A displaystyle A nbsp 不可逆或是n m displaystyle n neq m nbsp 需要一個適合的m n displaystyle m times n nbsp 矩陣G displaystyle G nbsp 使得下式成立 A G y y displaystyle AGy y nbsp 因此G y displaystyle Gy nbsp 為線性系統A x y displaystyle Ax y nbsp 的解 而同樣的 m n displaystyle m times n nbsp 階的矩陣G displaystyle G nbsp 也會使下式成立 A G A A displaystyle AGA A nbsp 因此可以用以下的方式定義广义逆阵 假設一個n m displaystyle n times m nbsp 的矩陣A displaystyle A nbsp m n displaystyle m times n nbsp 的矩陣G displaystyle G nbsp 若可以使下式成立 矩陣G displaystyle G nbsp 即為A displaystyle A nbsp 的广义逆阵 A G A A displaystyle AGA A nbsp 產生廣義逆陣 编辑以下是一種產生廣義逆陣的方式 3 若A B C displaystyle A BC nbsp 為其秩分解 英语 rank factorization 則G C r B l displaystyle G C r B l nbsp 為A displaystyle A nbsp 的廣義逆陣 其中C r displaystyle C r nbsp 為C displaystyle C nbsp 的右逆矩陣 而B l displaystyle B l nbsp 為B displaystyle B nbsp 的左逆矩陣 若A P I r 0 0 0 Q displaystyle A P begin bmatrix I r amp 0 0 amp 0 end bmatrix Q nbsp 其中P displaystyle P nbsp 及Q displaystyle Q nbsp 為可逆矩陣 則G Q 1 I r U W V P 1 displaystyle G Q 1 begin bmatrix I r amp U W amp V end bmatrix P 1 nbsp 是A displaystyle A nbsp 的廣義逆陣 其中U V displaystyle U V nbsp 及W displaystyle W nbsp 均為任意矩陣 令A displaystyle A nbsp 為秩為r displaystyle r nbsp 的矩陣 在不失一般性的情形下 令A B C D E displaystyle A begin bmatrix B amp C D amp E end bmatrix nbsp 其中B r r displaystyle B r times r nbsp 為A displaystyle A nbsp 的可逆子矩陣 則G B 1 0 0 0 displaystyle G begin bmatrix B 1 amp 0 0 amp 0 end bmatrix nbsp 為A displaystyle A nbsp 的廣義逆陣 广义逆阵的種類 编辑彭若斯條件可以用來定義不同的广义逆阵 針對A R n m displaystyle A in mathbb R n times m nbsp 及A g R m n displaystyle A mathrm g in mathbb R m times n nbsp 1 A A g A A displaystyle AA mathrm g A A nbsp 2 A g A A g A g displaystyle A mathrm g AA mathrm g A mathrm g nbsp 3 A A g T A A g displaystyle AA mathrm g mathrm T AA mathrm g nbsp 4 A g A T A g A displaystyle A mathrm g A mathrm T A mathrm g A nbsp 若A g displaystyle A mathrm g nbsp 滿足條件 1 即為A displaystyle A nbsp 的广义逆阵 若滿足條件 1 和 2 則為A displaystyle A nbsp 的廣義反身逆陣 generalized reflexive inverse 若四個條件都滿足 則為A displaystyle A nbsp 的摩尔 彭若斯广义逆 以下是一些其他種類的广义逆阵 單邊逆矩陣 左逆矩陣或是右逆矩陣 若矩陣A的維度是n m displaystyle n times m nbsp 且為 满秩 若n gt m displaystyle n gt m nbsp 則用左逆矩陣 若n lt m displaystyle n lt m nbsp 則用右逆矩陣 左逆矩陣為A l e f t 1 A T A 1 A T displaystyle A mathrm left 1 left A mathrm T A right 1 A mathrm T nbsp 也就是A l e f t 1 A I m displaystyle A mathrm left 1 A I m nbsp 其中I m displaystyle I m nbsp 為m m displaystyle m times m nbsp 單位矩陣 右逆矩陣為A r i g h t 1 A T A A T 1 displaystyle A mathrm right 1 A mathrm T left AA mathrm T right 1 nbsp 也就是A A r i g h t 1 I n displaystyle AA mathrm right 1 I n nbsp 其中 I n displaystyle I n nbsp 為n n displaystyle n times n nbsp 單位矩陣 德拉任逆矩陣 英语 Drazin inverse 博特 達芬逆矩陣 英语 Bott Duffin inverse 摩尔 彭若斯广义逆應用 编辑任何一種广义逆阵都可以用來判斷线性方程组是否有解 若有解時列出其所有的解 4 若以下n m的線性系統有解存在 A x b displaystyle Ax b nbsp 其中向量x displaystyle x nbsp 為未知數 向量b為常數 以下是所有的解 x A g b I A g A w displaystyle x A mathrm g b I A mathrm g A w nbsp 其中參數w為任意矩陣 而A g displaystyle A mathrm g nbsp 為A displaystyle A nbsp 的任何一個广义逆阵 解存在的條件若且唯若A g b displaystyle A mathrm g b nbsp 為其中一個解 也就是若且唯若A A g b b displaystyle AA mathrm g b b nbsp 參考資料 编辑 Generalized Inverses How to Invert a Non Invertible Matrix PDF 2016 07 10 原始内容存档 PDF 于2016 11 30 Pseudo Inverse of a Matrix Inst eecs berkeley edu 2014 02 11 2016 07 10 原始内容存档于2016 08 15 Bapat Ravindra B Linear algebra and linear models Springer Science amp Business Media 2012 springer com book 页面存档备份 存于互联网档案馆 James M The generalised inverse Mathematical Gazette June 1978 62 109 114 doi 10 2307 3617665 Yoshihiko Nakamura Advanced Robotics Redundancy and Optimization Addison Wesley 1991 ISBN 0201151987 Zheng B Bapat R B Generalized inverse A 2 T S and a rank equation Applied Mathematics and Computation 2004 155 407 415 doi 10 1016 S0096 3003 03 00786 0 S L Campbell and C D Meyer Generalized Inverses of Linear Transformations Dover 1991 ISBN 978 0 486 66693 8 Adi Ben Israel and Thomas N E Greville Generalized inverses Theory and applications 2nd New York NY Springer 2003 2016 07 08 ISBN 0 387 00293 6 原始内容存档于2016 08 18 C R Rao and C Radhakrishna Rao and Sujit Kumar Mitra Generalized Inverse of Matrices and its Applications New York John Wiley amp Sons 1971 240 ISBN 0 471 70821 6 相關條目 编辑反元素 摩尔 彭若斯广义逆 弱逆 英语 Weak inverse 外部連結 编辑15A09 数学学科分类标准中對於反矩陣及广义逆阵的分類 search 永久失效連結 取自 https zh wikipedia org w index php title 广义逆阵 amp oldid 73554571, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,