年金

年金是指等额、定期的系列收支。^[1]即用于描述这类以固定的时间周期以相对固定的方式发生的现金流。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，都属于年金收付形式。

分类

按照收付时点和方式的不同可以将年金分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金等四种。

普通年金现值

普通年金的现值可以被表达为一个等比数列的总和。

考虑在${\displaystyle t=1,2,...,n}$ 时刻分别发生数额为${\displaystyle C}$ 的款项，总共发生${\displaystyle n}$ 次的现金流（显然，这是年金）。将在未来发生的款项根据换算周期内的利率${\displaystyle i}$ 折现，这个年金的现值据此计算：^[2]

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {C}{i}}\cdot [1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}]}$  ${\displaystyle \mathrm {=} {C}{\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\,}$ 

其中${\displaystyle \mathrm {\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}} \,}$ 稱為「年金因子」。上式同样也适用于发生时间不同但等时间间隔的年金，比如，从第一年到第十年每年年底付款100元；其中，${\displaystyle i}$ 是换算周期内对应的利率或当期收益率。^[3]

若年金的支付永远进行下去，没有停止的那一天，这种年金被称为永久年金。^[4]永久年金现值的计算即令上式中${\displaystyle n\to \infty }$ ，则${\displaystyle 1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}\to 1}$ ，

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {C}{i}}}$ 

因此，前式可以看作是一个永久年金的现值减去一个推迟了${\displaystyle n}$ 年的永久年金的现值所得。

需要注意的是，这些计算公式只有在满足下述条件时才能成立：

• 无需考虑通货膨胀，或者所用利率已将通货膨胀考虑在内。
• 将来的支付具有相当高的发生可能性，或者利率已将信用风险考虑在内。

要了解更多，请参见金钱的时间价值。

参见

• 现值
• 利息
• 投资
• 净现值
• 终值
• 金钱的时间价值
• 通货膨胀
• 逆按揭

参考文献

1. 财务成本管理. 中国财政经济出版社. 2012: 82. ISBN 978-7-5095-3457-1. 
2. Smart, Scott. Corporate Finance. Stamford: Thomson Learning. 2008: 86. ISBN 184480562X. 
3. Khan, M.Y. Theory & Problems in Financial Management. Boston: McGraw Hill Higher Education. 1993. ISBN 9780074636831. 
4. 吴岚, 黄海. 金融数学引论. 北京: 北京大学出版社. 2005: 36. ISBN 9787301083734.