D.Richards Advanced Mathematical Methods with Maple,Cambridge 2002.
Frank J. Oliver, NIST Handbook of Mathematical Functions,Cambridge 2010
十月 31, 2023
平稳相近似, 是一种处理在给定区间内被积分函数快速振荡的定积分的近似法, 下列定积分, displaystyle, 被积分函数f, displaystyle, 区间快速振荡, 而位相在此区间内的变化相对缓慢, 这类积分用拉普拉斯近似无效, 必须用法, 原理, 编辑, nbsp, 绿线代表振荡的被积分函数, 红线代表位相, nbsp, 主要贡献来自平稳位相区f, displaystyle, nbsp, 位相, displaystyle, xsin, nbsp, 被积分函数, displaystyle, xsin, n. 平稳相近似是一种处理在给定区间内被积分函数快速振荡的定积分的近似法 下列定积分 1 a b f t x e i v h t d t displaystyle int a b f t x e ivh t dt 被积分函数f t x e i v h t displaystyle f t x e ivh t 在 a b 区间快速振荡 而位相在此区间内的变化相对缓慢 这类积分用拉普拉斯近似无效 必须用平稳相近似法 2 原理 编辑 nbsp 绿线代表振荡的被积分函数 红线代表位相 nbsp 主要贡献来自平稳位相区F v x 0 p c o s v h t d t displaystyle F v x int 0 pi cos v h t dt nbsp 位相 v h t v t x s i n t displaystyle v h t v t xsin t nbsp 被积分函数 c o s v t x s i n t displaystyle cos v t xsin t nbsp 位相的平稳点由下列微分方程给出 d d t v t x s i n t 0 displaystyle frac d dt v t xsin t 0 nbsp 令v 5 x 35 displaystyle v 5 x 35 nbsp 得平稳相点 t s t a r c c o s 1 35 1 54 displaystyle t s t arccos 1 35 1 54 nbsp 将积分F v x 分为三段 s f 0 1 c o s 5 t 5 x s i n t d t 1 2 c o s 5 t 5 x s i n t d t 2 p c o s 5 t 5 x s i n t d t displaystyle sf int 0 1 cos 5 t 5 x sin t dt int 1 2 cos 5 t 5 x sin t dt int 2 pi cos 5 t 5 x sin t dt nbsp 由图可见 在平稳相点左右区间 1 2 位相平稳 这个平稳相区间贡献了定积分的主要部分 在平稳相区间之外 0 1 和 2 p displaystyle 2 pi nbsp 由于被积分函数振荡激烈 正负相消 因此贡献可以忽略不计 这就是平稳相近似的原理 3 一阶近似展开 编辑设有下列积分F v a b e i v h t f t d t displaystyle F v int a b e ivh t f t dt nbsp 并设h t displaystyle h t nbsp 的平稳相点为t k displaystyle t k nbsp 将h t displaystyle h t nbsp 作泰勒展开 h t h t k 1 2 t t k 2 h t k displaystyle h t approx h t k frac 1 2 t t k 2 h t k cdots nbsp 于是F k v e i v h t f t k displaystyle F k v approx e ivh t f t k nbsp e i v s 2 h t k 2 d s displaystyle int infty infty e ivs 2 h t k 2 ds nbsp 将所有平稳相点k 1 N displaystyle k 1 cdots N nbsp 的贡献相加得 4 F v 2 p a b s v displaystyle F v approx sqrt frac 2 pi abs v nbsp k 1 N displaystyle sum k 1 N nbsp f t k a b s h t k e x p i v h t p 4 s g n v h t k displaystyle frac f t k sqrt abs h t k exp i vh t frac pi 4 sgn vh t k nbsp 一般情形被积分函数是不是积分区间的周期函数 因此积分区间两头的贡献也必须补入 4 F v 2 p a b s v displaystyle F v approx sqrt frac 2 pi abs v nbsp k 1 N displaystyle sum k 1 N nbsp f t k a b s h t k e x p i v h t p 4 s g n v h t k displaystyle frac f t k sqrt abs h t k exp i vh t frac pi 4 sgn vh t k nbsp i v e i v h a f a h a i v h b f b h b displaystyle frac i v frac e ivh a f a h a frac ivh b f b h b nbsp 参考文献 编辑 Richards p532 Frank p45 section 2 3 iv Method of Stationary Phase Richards p532 535 4 0 4 1 Richards p540 D Richards Advanced Mathematical Methods with Maple Cambridge 2002 Frank J Oliver NIST Handbook of Mathematical Functions Cambridge 2010 取自 https zh wikipedia org w index php title 平稳相近似 amp oldid 72298143, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
