布豐投針問題

布豐投針問題（Buffon's needle problem，又译“蒲丰投針問題”）是布丰於18世紀提出的一個数学問題：^[1]

設我們有一個以平行且等距木紋舖成的地板（如右圖），現在隨意拋一支長度比木紋之間距離小的針，求針和其中一條木紋相交的機率。

使用積分幾何能找到此題的解。用該方法可設計一個求π的蒙地卡羅方法，不過這並非布豐的本意。^[2]

解法

設針的長度是${\displaystyle \ell }$ ，平行線之間的距離為${\displaystyle t}$ ，${\displaystyle x}$ 為針的中心和最近的平行線的距離，${\displaystyle \theta }$ 為針和線之間的銳角。

${\displaystyle x\in [0,t/2]}$ 且均匀分布，其機率密度函數為${\displaystyle {\frac {2}{t}}}$ 。

${\displaystyle \theta \in [0,\pi /2]}$ 且均匀分布，其機率密度函數為${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}}$ 。

${\displaystyle x,\theta }$ 兩個隨機變數互相獨立，因此兩者結合的機率密度函數只是兩者的積：

${\displaystyle {\frac {4}{t\pi }}\ (x\in [0,t/2],\theta \in [0,\pi /2])}$ 

當${\displaystyle x\leq {\frac {\ell }{2}}\sin \theta }$ ，針和線相交，然後對${\displaystyle x,\theta }$ 積分得出所求機率。

要求上式的積分需要分為兩種情況：“短針”${\displaystyle ({\ell }\leq t)}$ 以及“長針”${\displaystyle ({\ell }>t)}$ ；以下考慮“短針”情況，計算上式積分得針與線相交的機率：

${\displaystyle P=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{(\ell /2)\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2\ell }{t\pi }}}$ 

作簡單變換可得${\displaystyle \pi ={\frac {2\ell }{tP}}}$ ,

當拋${\displaystyle n}$ 支針，其中有${\displaystyle h}$ 支針與線相交，利用多次重複試驗所觀察事件發生的頻率越來越接近機率的理論值${\displaystyle P\approx {\frac {h}{n}}}$ 。

近似可得${\displaystyle \pi \approx {\frac {2\ell n}{th}}}$ 

拉扎里尼的估計

1901年，意大利數學家马里奥·拉扎里尼（Mario Lazzarini）嘗試進行此實驗。他拋了3408次針，得到π的近似值為355/113。

拉扎里尼選取了一支長度是紋的距離的5/6的針。在這個情況，針和紋相交的機會是5/(3π)。如果想拋n次針而得到x次相交，π約等於${\displaystyle 5/3\times n/x}$ 。分母、分子少於五位數字，沒有比355/113更好的π的近似值了。因此，可以列式${\displaystyle 355/113=5/3\times n/x}$ ，得${\displaystyle x=113n/213}$ 。

為求x的值接近這個數，可以重覆拋213次針，若有113次是成功的，便可終止實驗，宣布這個方法求π值準確度不低；否則，就再拋213次針，希望共有226次成功……這次反覆進行實驗。拉扎里尼做了${\displaystyle 3408=213\times 16}$ 次。

參見

• 伯特蘭悖論
• 蒙地卡羅方法

參考文獻

1. Histoire de l'Acad. Roy. des. Sciences (1733), 43–45; Histoire naturelle, générale et particulière Supplément 4 (1777), p. 46.
2. Behrends, Ehrhard. Buffon: Hat er Stöckchen geworfen oder hat er nicht? (PDF). [14 March 2015]. （原始内容 (PDF)于2014-08-02）. 

外部連結

维基共享资源中相关的多媒体资源：布豐投針問題

• Buffon's Needle Problem （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
• Math Surprises: Buffon's Noodle （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
• MSTE: Buffon's Needle （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Buffon's Needle Java Applet （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Estimating PI Visualization (Flash) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Buffon's needle: fun and fundamentals (presentation) （页面存档备份，存于互联网档案馆） at slideshare
• Animations for the Simulation of Buffon's Needle （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Yihui Xie using the R package animation
• 3D Physical Animation （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Jeffrey Ventrella
• Padilla, Tony. . Numberphile. Brady Haran. [2013-04-09]. （原始内容存档于2013-05-17）.