岩泽分解

数学中，半单李群的岩泽分解 KAN 推广了实方阵能写成一个正交矩阵和上三角矩阵的乘积（格拉姆-施密特正交化之推论）。以创立者日本数学家岩泽健吉命名。

定义

• G 是一个连通半单实李群。
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$  是 G 的李代数。
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  是 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$  的复化。
• θ 是 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$  的一个嘉当对合。
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}}$  是相应的嘉当分解。
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$  是 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}}$  的一个极大阿贝尔子空间。
• Σ 是 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$ 的限定根，对应于 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$  作用在 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$  上的特征值。
• Σ⁺ 是 Σ 的正根。
• ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{0}}$  是由 Σ⁺ 的根空间的和给出的幂零李代数。
• K,A, N 分别是由 ${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{0},{\mathfrak {a}}_{0}}$  和 ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{0}}$ 生成的子群。

那么，${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$  的岩泽分解为

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}+{\mathfrak {a}}_{0}+{\mathfrak {n}}_{0}}$ ，

G 的岩泽分解为：

${\displaystyle G=KAN}$ 

A （或等价的 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$ ）的维数称为 G的实秩 。

岩泽分解对一些不连通半单李群G 也成立，此时 K 为（不连通）极大紧子群并假定 G 的中心有限。

例子

如果 G=GL_n(R)，那么可取 K 为正交矩阵，A 为正对角矩阵，N 为幂幺群（对角元全1的上三角矩阵）。

参见

• 李群分解

参考文献

• Fedenko, A.S.; Shtern, A.I., I/i053060, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• A. W. Knapp, Structure theory of semisimple Lie groups, in ISBN 0-8218-0609-2: Representation Theory and Automorphic Forms: Instructional Conference, International Centre for Mathematical Sciences, March 1996, Edinburgh, Scotland (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics) by T. N. Bailey (Editor), Anthony W. Knapp (Editor)

• 岩泽健吉，On some types of topological groups. Annals of Mathematics (2) 50, (1949), 507–558.