局部域, 在數學上, 是一類特別的域, 它有非平凡的絕對值, 此絕對值賦予的拓撲是局部緊的, 可粗分為兩類, 一種的絕對值滿足阿基米德性質, 稱作阿基米德, 另一種的絕對值不滿足阿基米德性質, 稱作非阿基米德, 在數論中, 數域的完備化給出的典型例子, 非阿基米德, 编辑設f, displaystyle, 為非阿基米德, displaystyle, cdot, 為其絕對值, 關鍵在下述對象, 閉單位球, displaystyle, 或其整數環o, displaystyle, mathcal, 這是個緊集, 整數環裡. 在數學上 局部域是一類特別的域 它有非平凡的絕對值 此絕對值賦予的拓撲是局部緊的 局部域可粗分為兩類 一種的絕對值滿足阿基米德性質 稱作阿基米德局部域 另一種的絕對值不滿足阿基米德性質 稱作非阿基米德局部域 在數論中 數域的完備化給出局部域的典型例子 非阿基米德局部域 编辑設F displaystyle F 為非阿基米德局部域 而 displaystyle cdot 為其絕對值 關鍵在下述對象 閉單位球 a F a 1 displaystyle a in F a leq 1 或其整數環O displaystyle mathcal O 這是個緊集 整數環裡的單位元素 O a F a 1 displaystyle mathcal O times a in F a 1 開單位球 a F a lt 1 displaystyle a in F a lt 1 這同時是其整數環裡唯一的極大理想 也記作m displaystyle mathfrak m 上述對象與賦值環的構造相呼應 事實上 可證明必存在實數0 lt c lt 1 displaystyle 0 lt c lt 1 及離散賦值v F Z displaystyle v F times rightarrow mathbb Z 使得 a F c v a a displaystyle forall a in F c v a a 可取唯一的c displaystyle c 使得v displaystyle v 為滿射 稱之為正規化賦值 從此引出非阿基米德局部域的另一個等價定義 一個域F displaystyle F 帶離散賦值v F Z displaystyle v F times rightarrow mathbb Z 使得F displaystyle F 成為完備的拓撲域 而且剩餘域有限 這類局部域的行為可由局部類域論描述 分類 编辑局部域的完整分類如次 R C displaystyle mathbb R mathbb C 這些是阿基米德局部域 p進數域Q p displaystyle mathbb Q p 的有限擴張 這些是特徵為零的非阿基米德局部域 F q T displaystyle mathbb F q T 的有限擴張 其中F q displaystyle mathbb F q 表有q個元素的有限域 這些是特徵非零的非阿基米德局部域 文獻 编辑Milne James Algebraic Number Theory Serre Jean Pierre Corps locaux Hermann 1968 取自 https zh wikipedia org w index php title 局部域 amp oldid 68297023, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,