對數平均

對數平均是一個二個非負數字的數學函數，等於兩者的差除以其對數的差。其符號為：

三維圖表顯示對數平均的值

${\displaystyle {\begin{array}{ll}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln \eta -\ln \xi }},\\&={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ or }}y=0,\\x&{\text{if }}x=y,\\{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{array}}}$

其中${\displaystyle x,y}$都是正整數。

對數平均的計算適用在有關熱傳及質傳的工程問題上。

不等式

二個數字的對數平均小於其算術平均，大於幾何平均^[1]，若二個數字相等，對數平均會等於算數平均及幾何平均。

${\displaystyle {\sqrt {x\cdot y}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ for all }}x\geq 0{\text{ and }}y\geq 0.}$ 

平均的推導

微分的均值定理

根據均值定理

${\displaystyle \exists \xi \in [x,y]:\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$ 

若將${\displaystyle f}$ 改為${\displaystyle \ln }$ ，對數平均可以由 ${\displaystyle \xi }$ 來求得

${\displaystyle {\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln x-\ln y}{x-y}}}$ 

求解${\displaystyle \xi }$ 。

${\displaystyle \xi ={\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}}$ 

積分

對數平均也可以表示為指數函數以下的面積。

${\displaystyle L(x,y)=\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t}$ 

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t&=&\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t\\&=&x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}|_{t=0}^{1}\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)\\&=&{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}\end{array}}}$ 

面積的表示法可以推導一個有關對數平均的基本性質。 因為指數函數為單調函數，長度為1區間的的積分會在${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 之間。積分算子的齐次性轉移到平均算子，因此${\displaystyle L(c\cdot x,c\cdot y)=c\cdot L(x,y)}$ .

推廣

微分的均值定理

對數平均可推廣到${\displaystyle n+1}$ 變數，考慮對數n階導數的均差中值定理（英语：mean value theorem (divided differences)）。 可以得到:${\displaystyle L_{\mathrm {MV} }(x_{0},\dots ,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}\cdot n\cdot \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]}}}$  其中${\displaystyle \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]}$ 為對數的均差。

若${\displaystyle n=2}$ ，會變成

${\displaystyle L_{\mathrm {MV} }(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\cdot (y-z)\cdot (z-x)}{2\cdot ((y-z)\cdot \ln x+(z-x)\cdot \ln y+(x-y)\cdot \ln z)}}}}$ .

積分

積分的表示法也可以推廣到多變數，但結果不同。 假設单纯形 ${\displaystyle S}$  其中${\displaystyle S=\{(\alpha _{0},\dots ,\alpha _{n}):\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\ \land \ \alpha _{0}\geq 0\ \land \ \dots \ \land \ \alpha _{n}\geq 0\}}$ 及適當的量度${\displaystyle \mathrm {d} \alpha }$ 可以使单纯形得到1的體積，可得

${\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha }$ 

利用指數函數的均差可以簡化如下

${\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=n!\cdot \exp[\ln x_{0},\dots ,\ln x_{n}]}$ .

例如${\displaystyle n=2}$ 

${\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x,y,z)=-2\cdot {\frac {x\cdot (\ln y-\ln z)+y\cdot (\ln z-\ln x)+z\cdot (\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)\cdot (\ln y-\ln z)\cdot (\ln z-\ln x)}}}$ .

和其他平均的關係

• ${\displaystyle {\frac {L(x^{2},y^{2})}{L(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}}$ （算術平均）

相關條目

• 幾何平均也和對數有關
• 對數平均是一種特別的Stolarsky平均（英语：Stolarsky mean）。
• 對數平均溫差

參考資料

1. Eric W. Weisstein: Arithmetic-Logarithmic-Geometric-Mean-Inequality （页面存档备份，存于互联网档案馆） und Napier's Inequality （页面存档备份，存于互联网档案馆） in MathWorld

• Logarithmic mean @ Everything2.com （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 埃里克·韦斯坦因. Arithmetic-Logarithmic-Geometric-Mean Inequality. MathWorld. 
• Stolarsky, Kenneth B.: Generalizations of the logarithmic mean, Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87–92