对数恒等式

在数学中，有许多对数恒等式。

代数恒等式

简化计算

对数可以用来简化计算。例如，两个数可以只通过查表和相加而得到乘积。

${\displaystyle \,\log _{\theta }xy=\log _{\theta }x+\log _{\theta }y}$	對應到	${\displaystyle \,\theta ^{x}\theta ^{y}=\theta ^{x+y}}$
${\displaystyle \log _{\theta }{\frac {x}{y}}=\log _{\theta }x-\log _{\theta }y}$		${\displaystyle {\frac {\theta ^{x}}{\theta ^{y}}}=\theta ^{x-y}}$
${\displaystyle \,\log _{\theta }x^{y}=y\log _{\theta }x}$		${\displaystyle \,({\theta ^{x}})^{y}=\theta ^{xy}}$
${\displaystyle \log _{\theta }{\sqrt[{y}]{x}}={\frac {\log _{\theta }x}{y}}}$		${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=x^{\frac {1}{y}}}$
${\displaystyle \,\log _{\theta }-x=\log _{\theta }x+\pi i\log _{\theta }e}$		歐拉恆等式：${\displaystyle \,e^{\pi i}+1=0}$

消去指数

同底的对数和指数会彼此消去。这是因为对数和指数是互逆运算（就像乘法和除法那样）。

${\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x}$	因为	${\displaystyle \mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x\!\,}$	因为	${\displaystyle \log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,}$

换底公式

${\displaystyle \log _{\theta }x={\frac {\log _{\phi }x}{\log _{\phi }\theta }}}$ 

在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如，大多数计算器有ln和log₁₀的按钮，但却没有${\displaystyle \log _{2}}$ 的。要计算${\displaystyle \log _{2}(3)}$ ，只有计算${\displaystyle {\frac {\log _{10}(3)}{\log _{10}(2)}}}$ ^{[註 1]}。

这个公式有许多推论：

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}$ 

${\displaystyle \log _{a^{n}}b={{\log _{a}b} \over n}}$ 

${\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}}$ 

${\displaystyle \log _{a_{1}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{n}}b_{n}=\log _{a_{\pi (1)}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{\pi (n)}}b_{n},\,}$ 

${\displaystyle {\pi (n)}}$ 是下标${\displaystyle 1,\ldots ,n}$ 的任意的排列。例如

${\displaystyle \log _{a}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{c}y\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z.\,}$ 

和/差公式

下面的和/差规则对概率论中的对数化概率的计算非常有用：

${\displaystyle \log _{\theta }(\mathrm {X} \pm \Upsilon )=\log _{\theta }\mathrm {X} +\log _{\theta }\left(1\pm {\frac {\Upsilon }{\mathrm {X} }}\right)}$ ^{[註 2]}

普通恒等式

${\displaystyle \log _{b}(1)=0\!\,}$	因为	${\displaystyle b^{0}=1\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}(b)=1\!\,}$	因为	${\displaystyle b^{1}=b\!\,}$

注意${\displaystyle \log _{b}(0)\!\,}$ 无定义，因为没有一个数${\displaystyle x\!\,}$ 使${\displaystyle b^{x}=0\!\,}$ 成立。

微积分恒等式

极限

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a<1}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a<1}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0}$ 

最后一个极限经常被总结为“${\displaystyle x}$ 的对数增长得比${\displaystyle x}$ 的任何次方或方根都慢”。^{[註 3]}

对数函数的导数

${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x}={\ln e \over x}}$ 

积分定义

${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}$ 

对数函数的积分

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}$ 

为了记忆积分，可以方便的定义：

${\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})}$ 

${\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}$ 

${\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}$ 

${\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}$ 

${\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}}$ 

于是，

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}}$ 

${\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}$ 

求大数的近似数

对数恒等式可以用来求大数的近似数。 假设我们要得到第44个梅森质数${\displaystyle 2^{32582657}-1}$ 的近似值。先取对数（${\displaystyle -1}$ 被忽略），${\displaystyle 2^{32582657}}$ 以10为底的对数等于 32,582,657 与${\displaystyle \log _{10}(2)}$ 的乘积，计算得到${\displaystyle 9808357.09543=9808357+0.09543}$ 。再取指数消去对数，得到最后结果为 ${\displaystyle 10^{9808357}\times 10^{0.09543}\approx 1.25\times 10^{9808357}}$ .

类似地，阶乘的结果可以用每项的对数之和来近似。

注释

1. 或${\displaystyle {\frac {\ln(3)}{\ln(2)}}}$ ，两者结果一样
2. 在使用时如果${\displaystyle \,\mathrm {X} <\Upsilon }$ ，等式右边的${\displaystyle \,\mathrm {X} }$ 和${\displaystyle \,\Upsilon }$ 必须互换。在${\displaystyle \,\mathrm {X} =\Upsilon }$ 时，因为0的对数无定义，所以此时减法等式无定义。
3. 说函数的极限“等于无穷大”是不严密的，因为“无穷大”不是数。上面右边是无穷大的等式的意思是，函数可以无限制的增加/减少。