堆排序

堆排序（英語：Heapsort）是指利用堆這種数据結構所設計的一種排序算法。堆是一個近似完全二叉樹的結構，並同時滿足堆積的性質：即子節點的键值或索引總是小於（或者大於）它的父節點。

堆排序
堆排序算法的演示。首先，将元素进行重排，以符合堆的条件。图中排序过程之前简单地绘出了堆树的结构。
概况
類別	排序算法
資料結構	陣列
复杂度
平均時間複雜度	${\displaystyle \Theta (n\log n)}$
最坏时间复杂度	${\displaystyle O(n\log n)}$
最优时间复杂度	${\displaystyle O(n\log n)}$^[1]
空間複雜度	${\displaystyle O(n)}$ total, ${\displaystyle O(1)}$ auxiliary
最佳解	不是
相关变量的定义

概述

若以升序排序說明，把陣列轉換成最大堆積（Max-Heap Heap），這是一種滿足最大堆積性質（Max-Heap Property）的二元樹：對於除了根之外的每個节点i, A[parent(i)] ≥ A[i]。

重複從最大堆積取出數值最大的结点（把根结点和最后一个结点交換，把交換後的最后一个结点移出堆），並讓殘餘的堆積維持最大堆積性質。

堆節點的訪問

通常堆是通過一維数组來實現的。在陣列起始位置為0的情形中：

• 父節點i的左子節點在位置${\displaystyle (2i+1)}$ ;
• 父節點i的右子節點在位置${\displaystyle (2i+2)}$ ;${\displaystyle }$
• 子節點i的父節點在位置${\displaystyle \lfloor (i-1)/2\rfloor }$ ;

堆的操作

在堆的資料結構中，堆中的最大值總是位於根節點（在优先队列中使用堆的话堆中的最小值位于根节点）。堆中定義以下幾種操作：

• 最大堆調整（Max Heapify）：將堆的末端子節點作調整，使得子節點永遠小於父節點
• 建立最大堆（Build Max Heap）：將堆中的所有數據重新排序
• 堆排序（HeapSort）：移除位在第一個數據的根節點，並做最大堆調整的遞迴運算

實作範例

C语言

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> void swap(int *a, int *b) {  int temp = *b;  *b = *a;  *a = temp; } void max_heapify(int arr[], int start, int end) {  // 建立父節點指標和子節點指標  int dad = start;  int son = dad * 2 + 1;  while (son <= end) { // 若子節點指標在範圍內才做比較  if (son + 1 <= end && arr[son] < arr[son + 1]) // 先比較兩個子節點大小，選擇最大的  son++;  if (arr[dad] > arr[son]) //如果父節點大於子節點代表調整完畢，直接跳出函數  return;  else { // 否則交換父子內容再繼續子節點和孫節點比较  swap(&arr[dad], &arr[son]);  dad = son;  son = dad * 2 + 1;  }  } } void heap_sort(int arr[], int len) {  int i;  // 初始化，i從最後一個父節點開始調整  for (i = len / 2 - 1; i >= 0; i--)  max_heapify(arr, i, len - 1);  // 先將第一個元素和已排好元素前一位做交換，再重新調整，直到排序完畢  for (i = len - 1; i > 0; i--) {  swap(&arr[0], &arr[i]);  max_heapify(arr, 0, i - 1);  } } int main() {  int arr[] = { 3, 5, 3, 0, 8, 6, 1, 5, 8, 6, 2, 4, 9, 4, 7, 0, 1, 8, 9, 7, 3, 1, 2, 5, 9, 7, 4, 0, 2, 6 };  int len = (int) sizeof(arr) / sizeof(*arr);  heap_sort(arr, len);  int i;  for (i = 0; i < len; i++)  printf("%d ", arr[i]);  printf("\n");  return 0; } 

C++

#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; void max_heapify(int arr[], int start, int end) {  // 建立父節點指標和子節點指標  int dad = start;  int son = dad * 2 + 1;  while (son <= end) { // 若子節點指標在範圍內才做比較  if (son + 1 <= end && arr[son] < arr[son + 1]) // 先比較兩個子節點大小，選擇最大的  son++;  if (arr[dad] > arr[son]) // 如果父節點大於子節點代表調整完畢，直接跳出函數  return;  else { // 否則交換父子內容再繼續子節點和孫節點比較  swap(arr[dad], arr[son]);  dad = son;  son = dad * 2 + 1;  }  } } void heap_sort(int arr[], int len) {  // 初始化，i從最後一個父節點開始調整  for (int i = len / 2 - 1; i >= 0; i--)  max_heapify(arr, i, len - 1);  // 先將第一個元素和已经排好的元素前一位做交換，再從新調整(刚调整的元素之前的元素)，直到排序完畢  for (int i = len - 1; i > 0; i--) {  swap(arr[0], arr[i]);  max_heapify(arr, 0, i - 1);  } } int main() {  int arr[] = { 3, 5, 3, 0, 8, 6, 1, 5, 8, 6, 2, 4, 9, 4, 7, 0, 1, 8, 9, 7, 3, 1, 2, 5, 9, 7, 4, 0, 2, 6 };  int len = (int) sizeof(arr) / sizeof(*arr);  heap_sort(arr, len);  for (int i = 0; i < len; i++)  cout << arr[i] << ' ';  cout << endl;  return 0; } 

Java

import java.util.Arrays; public class HeapSort {  private int[] arr;  public HeapSort(int[] arr) {  this.arr = arr;  }  /**  * 堆排序的主要入口方法，共两步。  */  public void sort() {  /*  * 第一步：将数组堆化  * beginIndex = 第一个非叶子节点。  * 从第一个非叶子节点开始即可。无需从最后一个叶子节点开始。  * 叶子节点可以看作已符合堆要求的节点，根节点就是它自己且自己以下值为最大。  */  int len = arr.length - 1;  int beginIndex = (arr.length >> 1)- 1;  for (int i = beginIndex; i >= 0; i--)  maxHeapify(i, len);  /*  * 第二步：对堆化数据排序  * 每次都是移出最顶层的根节点A[0]，与最尾部节点位置调换，同时遍历长度 - 1。  * 然后从新整理被换到根节点的末尾元素，使其符合堆的特性。  * 直至未排序的堆长度为 0。  */  for (int i = len; i > 0; i--) {  swap(0, i);  maxHeapify(0, i - 1);  }  }  private void swap(int i, int j) {  int temp = arr[i];  arr[i] = arr[j];  arr[j] = temp;  }  /**  * 调整索引为 index 处的数据，使其符合堆的特性。  *  * @param index 需要堆化处理的数据的索引  * @param len 未排序的堆（数组）的长度  */  private void maxHeapify(int index, int len) {  int li = (index << 1) + 1; // 左子节点索引  int ri = li + 1; // 右子节点索引  int cMax = li; // 子节点值最大索引，默认左子节点。  if (li > len) return; // 左子节点索引超出计算范围，直接返回。  if (ri <= len && arr[ri] > arr[li]) // 先判断左右子节点，哪个较大。  cMax = ri;  if (arr[cMax] > arr[index]) {  swap(cMax, index); // 如果父节点被子节点调换，  maxHeapify(cMax, len); // 则需要继续判断换下后的父节点是否符合堆的特性。  }  }  /**  * 测试用例  *  * 输出：  * [0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9]  */  public static void main(String[] args) {  int[] arr = new int[] {3, 5, 3, 0, 8, 6, 1, 5, 8, 6, 2, 4, 9, 4, 7, 0, 1, 8, 9, 7, 3, 1, 2, 5, 9, 7, 4, 0, 2, 6};  new HeapSort(arr).sort();  System.out.println(Arrays.toString(arr));  } } 

Python

#!/usr/bin/env python #-*-coding:utf-8-*- def heap_sort(lst): def sift_down(start, end):  """最大堆调整""" root = start while True: child = 2 * root + 1 if child > end: break if child + 1 <= end and lst[child] < lst[child + 1]: child += 1 if lst[root] < lst[child]: lst[root], lst[child] = lst[child], lst[root] root = child else: break # 創建最大堆 for start in range((len(lst) - 2) // 2, -1, -1): sift_down(start, len(lst) - 1) # 堆排序 for end in range(len(lst) - 1, 0, -1): lst[0], lst[end] = lst[end], lst[0] sift_down(0, end - 1) return lst if __name__ == "__main__": l = [9, 2, 1, 7, 6, 8, 5, 3, 4] heap_sort(l) 

JavaScript

Array.prototype.heap_sort = function() {  var arr = this.slice(0);  function swap(i, j) {  var tmp = arr[i];  arr[i] = arr[j];  arr[j] = tmp;  }  function max_heapify(start, end) {  //建立父節點指標和子節點指標  var dad = start;  var son = dad * 2 + 1;  if (son >= end)//若子節點指標超過範圍直接跳出函數  return;  if (son + 1 < end && arr[son] < arr[son + 1])//先比較兩個子節點大小，選擇最大的  son++;  if (arr[dad] < arr[son]) {//如果父節點小於子節點時，交換父子內容再繼續子節點和孫節點比較  swap(dad, son);  max_heapify(son, end);  }  }  var len = arr.length;  //初始化，i從最後一個父節點開始調整  for (var i = Math.floor(len / 2) - 1; i >= 0; i--)  max_heapify(i, len);  //先將第一個元素和已排好元素前一位做交換，再從新調整，直到排序完畢  for (var i = len - 1; i > 0; i--) {  swap(0, i);  max_heapify(0, i);  }  return arr; }; var a = [3, 5, 3, 0, 8, 6, 1, 5, 8, 6, 2, 4, 9, 4, 7, 0, 1, 8, 9, 7, 3, 1, 2, 5, 9, 7, 4, 0, 2, 6]; console.log(a.heap_sort()); 

PHP

<?php function swap(&$x, &$y) { $t = $x; $x = $y; $y = $t; } function max_heapify(&$arr, $start, $end) { //建立父節點指標和子節點指標 $dad = $start; $son = $dad * 2 + 1; if ($son >= $end)//若子節點指標超過範圍直接跳出函數 return; if ($son + 1 < $end && $arr[$son] < $arr[$son + 1])//先比較兩個子節點大小，選擇最大的 $son++; if ($arr[$dad] <= $arr[$son]) {//如果父節點小於子節點時，交換父子內容再繼續子節點和孫節點比較 swap($arr[$dad], $arr[$son]); max_heapify($arr, $son, $end); } } function heap_sort($arr) { $len = count($arr); //初始化，i從最後一個父節點開始調整 for ($i = ceil($len/2) - 1; $i >= 0; $i--) max_heapify($arr, $i, $len); //先將第一個元素和已排好元素前一位做交換，再從新調整，直到排序完畢 for ($i = $len - 1; $i > 0; $i--) { swap($arr[0], $arr[$i]); max_heapify($arr, 0, $i); } return $arr; } $arr = array(3, 5, 3, 0, 8, 6, 1, 5, 8, 6, 2, 4, 9, 4, 7, 0, 1, 8, 9, 7, 3, 1, 2, 5, 9, 7, 4, 0, 2, 6); $arr = heap_sort($arr); for ($i = 0; $i < count($arr); $i++) echo $arr[$i] . ' '; ?> 

Go

package main import (  "fmt" ) func HeapSort(array []int) {  m := len(array)  s := m/2  for i := s; i > -1; i-- {  heap(array, i, m-1)  }  for i := m-1; i > 0; i-- {  array[i], array[0] = array[0], array[i]  heap(array, 0, i-1)  } } func heap(array []int, i, end int){  l := 2*i+1  if l > end {  return  }  n := l  r := 2*i+2  if r <= end && array[r]>array[l]{  n = r  }  if array[i] > array[n]{  return  }  array[n], array[i] = array[i], array[n]  heap(array, n, end) } func main() {  array := []int{  55, 94,87,1,4,32,11,77,39,42,64,53,70,12,9,  }  HeapSort(array)  fmt.Println(array) } 

Julia (程式語言)

function HeapSort(array)  function adjust(l,u)  while true  j = 2*l # 左子點  if (j>u) # 代表沒有子點  break  end   if ((j+1) <= u) # 有右子點  if (array[j] < array[j+1])   j += 1 #比較左右子點  end  end  if (array[j] > array[l]) #比較父點跟子點  array[l], array[j]= array[j], array[l]  l = j # 有交換  else  break # 沒交換跳出迴圈  end  end  end  n = length(array)  for i in n:-1:1 # 建 max Heap  adjust(i,n)  end   #持續把第一個(最大)的元素最後一個交換  array[n],array[1]=array[1],array[n]   for i in n-1:-1:1  adjust(1,i)  array[i],array[1]=array[1],array[i]  end  return array end 

Rust

fn max_heapify<T: Ord + Copy>(data: &mut [T], pos: usize, end: usize) {  let mut dad = pos;  let mut son = dad * 2 + 1;  while son <= end {  if son < end && data[son] < data[son + 1] {  son += 1;  }  if data[dad] > data[son] {  return;  } else {  data.swap(dad, son);  dad = son;  son = dad * 2 + 1;  }  } } fn heap_sort<T:Ord+Copy>(data: &mut[T]) {  let len = data.len();  for i in (0..=len / 2 - 1).rev() {  max_heapify(data, i, len - 1);  }  for i in (1..=len - 1).rev() {  data.swap(0, i);  max_heapify(data, 0, i - 1);  } } fn main() {  let mut nums = vec![9, 2, 1, 7, 6, 8, 5, 3, 4];  heap_sort(nums.as_mut_slice()); } 

原地堆排序

基于以上堆相关的操作，我们可以很容易的定义堆排序。例如，假设我们已经读入一系列数据并创建了一个堆，一个最直观的算法就是反复的调用del_max()函数，因为该函数总是能够返回堆中最大的值，然后把它从堆中删除，从而对这一系列返回值的输出就得到了该序列的降序排列。真正的原地堆排序使用了另外一个小技巧。堆排序的过程是：

1. 建立一个堆${\displaystyle H[0..n-1]}$ 
2. 把堆首（最大值）和堆尾互换
3. 把堆的尺寸缩小1，并调用shift_down(0),目的是把新的数组顶端数据调整到相应位置
4. 重复步骤2，直到堆的尺寸为1

平均复杂度

堆排序的平均时间复杂度为${\displaystyle \mathrm {O} (n\log n)}$ ，空间复杂度为${\displaystyle \Theta (1)}$ 。

參考

1. R. Schaffer, R. Sedgewick. The Analysis of Heapsort. Journal of Algorithms. 1993-07, 15 (1): 76–100 [2022-10-02]. doi:10.1006/jagm.1993.1031. （原始内容于2022-01-27） （英语）. 

外部連結