給定一個 n-型 p,一個自然的問題是研究省略 p 的模型。當 p 是孤立點時,所有模型都實現 p;反過來說,省略型定理則斷言:設 是可數語言,若 p 非孤立點,則有一個省略 p 的可數模型。
舉例來說,在特徵為零的代數封閉域理論中,取 p 為由一個相對於的超越元素給出的型,任兩個這樣的超越元素都在一個基本擴展中同構,所以 p 的定義與選取無關。這是 Stone 空間中唯一的非孤立點。代數數是個省略 p 的可數模型,而任何的超越擴張都實現 p。其餘的型都由某個代數數給出,而且被所有模型實現。
文獻编辑
Wilfrid Hodges, A shorter model theory (1997), Cambridge University Press ISBN 0-521-58713-1
模型论, 在模型論中, 型是一階邏輯中的一個相容的公式集合, 一個完備型是這類集合中的一個極大元素, 目录, 嚴格定義, 例子, stone空間, 個案研討, 稠密全序, 代數封閉域, 省略型定理, 文獻嚴格定義, 编辑首先固定以下對象, displaystyle, mathcal, nbsp, 一個一階語言, displaystyle, nbsp, 一個l, displaystyle, mathcal, nbsp, 理論, displaystyle, mathcal, nbsp, displaystyle, nb. 在模型論中 型是一階邏輯中的一個相容的公式集合 一個完備型是這類集合中的一個極大元素 目录 1 嚴格定義 2 例子 3 Stone空間 4 個案研討 4 1 稠密全序 4 2 代數封閉域 5 省略型定理 6 文獻嚴格定義 编辑首先固定以下對象 L displaystyle mathcal L nbsp 一個一階語言 T displaystyle T nbsp 一個L displaystyle mathcal L nbsp 理論 M displaystyle mathcal M nbsp 為 T displaystyle T nbsp 的一個模型 A M displaystyle A subset mathcal M nbsp 記 L A L c a a A displaystyle mathcal L A mathcal L cup c a a in A nbsp 即 將 A 加入 語言的常量符號 於是 M displaystyle mathcal M nbsp 自然地成為 L A displaystyle mathcal L A nbsp 的一個結構 記 T h A M displaystyle mathrm Th A mathcal M nbsp 為相應的完備理論 設 n N displaystyle n in mathbb N nbsp S v S v 1 v n displaystyle Sigma vec v Sigma v 1 ldots v n nbsp 為一個 L A displaystyle mathcal L A nbsp 的子集 使其元素均為帶 n 個自由變元 v 1 v n displaystyle v 1 ldots v n nbsp 的公式 若 S v displaystyle Sigma vec v nbsp 與 T h A M displaystyle mathrm Th A mathcal M nbsp 相容 則稱之為 T h A M displaystyle mathrm Th A mathcal M nbsp 上的 n 型 此外 若 S v displaystyle Sigma vec v nbsp 對集合包含關係是極大的 則稱之完備型 一個型 S v displaystyle Sigma vec v nbsp 是完備型的充要條件是 ϕ L A ϕ S v ϕ S v displaystyle forall phi in mathcal L A quad phi in Sigma vec v vee neg phi in Sigma vec v nbsp 由佐恩引理與圖法可推出每個型都包含於一個完備型 通常也將型與完備型分別稱作部份型與型 以下將採此稱呼 以 S n M A displaystyle S n mathcal M A nbsp 表示所有T h A M displaystyle mathrm Th A mathcal M nbsp 上 n 個變元的型 集合 A 也稱作參數集 設結構 N displaystyle mathcal N nbsp 為 M displaystyle mathcal M nbsp 的一個基本擴展 b b 1 b n N displaystyle vec b b 1 ldots b n in mathcal N nbsp 則容易驗證以下集合是個型 稱之為 b N displaystyle vec b in mathcal N nbsp 在 A 上的型 t p N b A ϕ b L A N ps b displaystyle mathrm tp mathcal N vec b A phi vec b in mathcal L A mathcal N models psi vec b nbsp 根據緊緻性定理可推出 對所有型 p S n M A displaystyle p in S n mathcal M A nbsp 都存在一個 M displaystyle mathcal M nbsp 的基本擴展 N displaystyle mathcal N nbsp 及 b N displaystyle vec b in mathcal N nbsp 使得 p t p N b A displaystyle p mathrm tp mathcal N vec b A nbsp 此時稱 b displaystyle vec b nbsp 實現 了 p 如果該模型中不存在這樣的 b displaystyle vec b nbsp 則稱此模型省略了 p 例子 编辑以下取一階語言 L lt displaystyle mathcal L langle lt rangle nbsp 並設 DLO 為稠密全序 或稱稠密線性序 理論 此時有 Q D L O displaystyle mathbb Q models mathrm DLO nbsp 不妨取 A Q displaystyle A mathbb Q nbsp 此時 p t p 1 Q 2 A displaystyle p mathrm tp 1 mathbb Q 2 A nbsp 是一個型 它代表所有代入 x 2 時在 Q displaystyle mathbb Q nbsp 中成立的公式 ϕ x L A displaystyle phi x in mathcal L A nbsp 例如 x 3 displaystyle x neq 3 nbsp x lt 5 displaystyle x lt 5 nbsp y y lt x displaystyle exists y y lt x nbsp p 在 Q displaystyle mathbb Q nbsp 裡已經實現 此外也可以考慮基本擴展 Q lt R displaystyle mathbb Q lt mathbb R nbsp 及型 q t p 1 R 2 A displaystyle q mathrm tp 1 mathbb R sqrt 2 A nbsp q 無法在 Q displaystyle mathbb Q nbsp 中實現 因為 q 包含下述所有公式 ϕ a x 2 a lt x lt 2 a a Q displaystyle phi alpha x 2 alpha lt x lt 2 alpha quad alpha in mathbb Q nbsp 而這些公式在 Q displaystyle mathbb Q nbsp 定義出的子集交集為空 在這個例子裡 一個型無法被實現的原因可歸於參數集 A 太大 事實上 Q displaystyle mathbb Q nbsp 能實現所有帶有限參數的型 一般來說 無理數給出了無法在 Q displaystyle mathbb Q nbsp 中實現的型 在 Q displaystyle mathbb Q nbsp 中描述這些 數 的一套經典辦法是戴德金切割 現在考慮另一個例子 取一階語言 L 0 1 lt displaystyle mathcal L langle cdot 0 1 lt rangle nbsp OR 為有序環的理論 A displaystyle A emptyset nbsp 此時 R O R displaystyle mathbb R models mathrm OR nbsp 考慮下述公式 ϕ n x x gt 1 1 n displaystyle phi n x x gt underbrace 1 cdots 1 n nbsp S ϕ n n N displaystyle Sigma phi n n in mathbb N nbsp 任何 S displaystyle Sigma nbsp 的有限子集都與 T h A R displaystyle mathrm Th A mathbb R nbsp 相容 所以由緊緻性定理可證 S displaystyle Sigma nbsp 包含於一個型 S displaystyle Sigma nbsp 無法在 R displaystyle mathbb R nbsp 中實現 卻能在 R displaystyle mathbb R nbsp 的某個基本擴展 超實數中實現 一個能實現所有滿足 A M A lt M displaystyle A subset mathcal M A lt mathcal M nbsp 的型的模型稱作飽和模型 Stone空間 编辑固定 n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp 所有 n 型構成的空間 S n M A displaystyle S n mathcal M A nbsp 具備一個自然的拓撲結構 其開集由形如 ϕ v p S n M A ϕ v p displaystyle langle phi vec v rangle p in S n mathcal M A phi vec v in p nbsp 的子集經過聯集與有限交集形成 它滿足下述性質 每個 ϕ v displaystyle langle phi vec v rangle nbsp 都是既開且閉的 因此 S n M A displaystyle S n mathcal M A nbsp 是全不連通空間 S n M A displaystyle S n mathcal M A nbsp 是緊空間 這是緊緻性定理的直接推論 p 是孤立點的充要條件是存在 ϕ v displaystyle phi vec v nbsp 使得 p ϕ v displaystyle p langle phi vec v rangle nbsp 此時對任何公式 ps v displaystyle psi vec v nbsp ps 屬於 p 的充要條件是 T h A M v ϕ v ps v displaystyle mathrm Th A mathcal M vdash forall vec v phi vec v leftrightarrow psi vec v nbsp 事實上 L A displaystyle mathcal L A nbsp 裡所有帶 n 個自由變元的公式構成一個布爾代數 而根據定義 n 型正是其中的極大濾子 可以證明拓撲空間 S n M A displaystyle S n mathcal M A nbsp 等同於布爾代數理論中考慮的 Stone 空間 個案研討 编辑稠密全序 编辑 先前關於 Q lt displaystyle mathbb Q lt nbsp 的評註適用於任何稠密全序集 設 T D L O displaystyle T models mathrm DLO nbsp 而 A 是其中的子集 則 S 1 T A displaystyle S 1 T A nbsp 的元素一一對應到 A 所定義的戴德金切割 L U displaystyle L U nbsp A L U displaystyle A L cup U nbsp x y x L y U x lt y displaystyle forall x forall y quad x in L wedge y in U Rightarrow x lt y nbsp 註 為了使結論簡潔 在此容許 L 含最大元素 或 U 含最小元素 而且 L 或 U 可以是空集合 此外 S 1 T A displaystyle S 1 T A nbsp 的非孤立點對應到沒有最大 最小元素的切割 證明關鍵在運用 DLO 的量詞消去 代數封閉域 编辑 取定一個代數封閉域 K displaystyle K nbsp 及其子集 A K displaystyle A subset K nbsp 令 K 0 displaystyle K 0 nbsp 為 A displaystyle A nbsp 生成的子域 則可定義下述映到交換環譜的連續映射 i S n A S p e c K 0 X 1 X n displaystyle i S n A longrightarrow mathrm Spec K 0 X 1 ldots X n nbsp p I p f K 0 X f v 0 p displaystyle p mapsto I p f in K 0 X f vec v 0 in p nbsp 同用利用量詞消去性質 可以證明 i 給出集合的雙射 由此在 S p e c K 0 X 1 X n displaystyle mathrm Spec K 0 X 1 ldots X n nbsp 引出的拓撲較扎里斯基拓撲細 而扎里斯基拓撲裡的閉集拉回後正好是 Stone 空間中由 ϕ v f 1 v 0 f m v 0 displaystyle phi vec v f 1 vec v 0 wedge cdots wedge f m vec v 0 nbsp 定義的開 閉集 其中 f 1 f m K 0 X 1 X n displaystyle f 1 ldots f m in K 0 X 1 ldots X n nbsp 扎里斯基拓撲中對應到不可約子簇的一般點則拉回到在某個超越擴張上實現的型 省略型定理 编辑給定一個 n 型 p 一個自然的問題是研究省略 p 的模型 當 p 是孤立點時 所有模型都實現 p 反過來說 省略型定理則斷言 設 L displaystyle mathcal L nbsp 是可數語言 若 p 非孤立點 則有一個省略 p 的可數模型 舉例來說 在特徵為零的代數封閉域理論中 取 p 為由一個相對於Q displaystyle mathbb Q nbsp 的超越元素給出的型 任兩個這樣的超越元素都在一個基本擴展中同構 所以 p 的定義與選取無關 這是 Stone 空間中唯一的非孤立點 代數數是個省略 p 的可數模型 而任何Q displaystyle mathbb Q nbsp 的超越擴張都實現 p 其餘的型都由某個代數數給出 而且被所有模型實現 文獻 编辑Wilfrid Hodges A shorter model theory 1997 Cambridge University Press ISBN 0 521 58713 1 C C Chang H J Keisler Model theory ISBN 0 7204 0692 7 David Marker Model Theory An Introduction ISBN 0 387 98760 6 Boris Zilber 在牛津的模型論講義 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 型 模型论 amp oldid 63825565, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,