一致連續又稱均勻連續,(英語:uniformly continuous),為數學分析的專有名詞,大致來講是描述對於函數 f 我們只要在定義域中讓任意兩點 x 跟 y 越來越接近,我們就可以讓 f(x) 跟 f(y) 無限靠近,這跟一般的連續函數不同之處在於:f(x) 跟 f(y) 之間的距離並不依賴 x 跟 y 的位置選擇。 一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续,则其在此度量空间上必然连续,但反之未必成立。
一致连续, 一致連續又稱均勻連續, 英語, uniformly, continuous, 為數學分析的專有名詞, 大致來講是描述對於函數, 我們只要在定義域中讓任意兩點, 越來越接近, 我們就可以讓, 無限靠近, 這跟一般的連續函數不同之處在於, 之間的距離並不依賴, 的位置選擇, 是比连续更苛刻的条件, 一个函数在某度量空间上, 则其在此度量空间上必然连续, 但反之未必成立, 正式的, 定義, 编辑设, displaystyle, nbsp, displaystyle, nbsp, 皆是度量空间, 我們說函数, . 一致連續又稱均勻連續 英語 uniformly continuous 為數學分析的專有名詞 大致來講是描述對於函數 f 我們只要在定義域中讓任意兩點 x 跟 y 越來越接近 我們就可以讓 f x 跟 f y 無限靠近 這跟一般的連續函數不同之處在於 f x 跟 f y 之間的距離並不依賴 x 跟 y 的位置選擇 一致连续是比连续更苛刻的条件 一个函数在某度量空间上一致连续 则其在此度量空间上必然连续 但反之未必成立 正式的 e d 定義 编辑设 X d 1 displaystyle X d 1 nbsp 和 Y d 2 displaystyle Y d 2 nbsp 皆是度量空间 我們說函数 f X Y displaystyle f X to Y nbsp 一致连续 這代表對任意的 ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp 存在 d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp 使得定義域中任意兩點 x y displaystyle x y nbsp 只要 d 1 x y lt d displaystyle d 1 x y lt delta nbsp 就有 d 2 f x f y lt ϵ displaystyle d 2 f x f y lt epsilon nbsp 当 X displaystyle X nbsp 和Y displaystyle Y nbsp 都是實數的子集合 d 1 displaystyle d 1 nbsp 和 d 2 displaystyle d 2 nbsp 為絕對值 displaystyle cdot nbsp 时 一致连续的定义可表述为 如果对任意的 ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp 存在 d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp 使得对任意兩點 x y lt d displaystyle x y lt delta nbsp 都有 f x f y lt ϵ displaystyle f x f y lt epsilon nbsp 则稱函數 f displaystyle f nbsp 在 X displaystyle X nbsp 上一致连续 均勻連續跟在每點連續最大的不同在於 在均勻連續定義中 正數 d displaystyle delta nbsp 的選擇只依賴 ϵ displaystyle epsilon nbsp 這變數 而不依賴定義域上點的位置 一致连续性定理 编辑定理 一个从紧致度量空间到度量空间的连续函数是一致连续的 证明 设函数f X Y displaystyle f X to Y nbsp X d 1 displaystyle X d 1 nbsp 为紧致度量空间 Y d 2 displaystyle Y d 2 nbsp 为度量空间 假设f displaystyle f nbsp 不是一致连续的 則存在一個ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp 对于任意n displaystyle n nbsp 都存在x n y n displaystyle x n y n nbsp 满足条件d 1 x n y n lt 1 n displaystyle d 1 x n y n lt tfrac 1 n nbsp 并且d 2 f x n f y n ϵ displaystyle d 2 f x n f y n geq epsilon nbsp 因为X displaystyle X nbsp 为紧致度量空间 X displaystyle X nbsp 是序列紧致的 所以存在一个 x n displaystyle x n nbsp 的收敛子序列 x k n displaystyle x k n nbsp 设其收敛到x displaystyle x nbsp d 1 x k n y k n lt 1 k n 1 n 0 displaystyle d 1 x k n y k n lt tfrac 1 k n leq tfrac 1 n to 0 nbsp 所以 y k n x displaystyle y k n to x nbsp 因为f displaystyle f nbsp 连续 ϵ d 2 f x k n f y k n d 2 f x f x 0 displaystyle epsilon leq d 2 f x k n f y k n to d 2 f x f x 0 nbsp 矛盾 定理得证 一致连续相比于连续是一个更强的结论 一般情况下 连续不意味着一致连续 相关条目 编辑连续 利普希茨连续 赫爾德連續 取自 https zh wikipedia org w index php title 一致连续 amp oldid 74102888, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,