圖示 (範疇論)

在範疇論中，圖示是集合論中的索引族於範疇論中的類比。兩者主要的不同在於，在範疇論中，態射也需要索引。集合的索引族是指由一個固定的集合索引的一組集合，亦可以說是由一個固定的索引「集合」映射至一組「集合」的「函數」。圖示則是指由一固定範疇索引的一組物件及態射，亦可以說是由一固定索引「範疇」映射至某些「範疇」的「函子」。

圖示及錐體是用來定義極限的核心概念。

定義

在一範疇 C中類型J的圖示是指一個（協變）函子

D : J → C

範疇J被稱之為圖示D的索引範疇，此一函子有時亦被稱為J型圖示^[1]。J實際的物件及態射為何並不重要，關鍵在於之間的互動。圖示D可想做是以J索引C內的物件及態射。

技術上，「圖示」及「函子」，以及「索引範疇」及「範疇」間並沒有什麼不同，用詞上的改變僅反映了觀點上的改變：將索引範疇固定，並允許函子（及目標範疇）變動。

通常，最感興趣的情況是當類型J為小範疇或有限範疇之時，此類圖示分別被稱為「小圖示」及「有限圖示」。

在範疇C內，類型J之圖示間的態射為函子間的自然變換。因此，可將C內類型J的圖示範疇理解為一函子範疇C^J，而圖示則為該範疇內的物件。

例子

• 給定範疇C中的任一物件A，均能得到一個「常數圖示」，該圖示將J內的所有物件映射至A，且將J內的所有態射映射至A上的單位態射。通常使用下標來標示此類常數圖示：亦即，對C內的任一物件${\displaystyle A}$ ，均會有一個常數圖示${\displaystyle {\underline {A}}}$ 。

• 若J是一個（小）離散範疇，則類型J的圖示實際上就只是個C內物件（由J索引）的索引族。用此圖示來建構極限，其結果為積；用來建構上極限，其結果為上積。因此，若J為一具有2個物件的離散範疇，其極限只會是個二元積。

參考資料

1. J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, (1999) The University of Chicago Press, ISBN 0-226-51183-9

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich, and George E. Strecker. Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. 1990 [2014-02-04]. ISBN 0-471-60922-6. （原始内容 (PDF)于2015-04-21）.  引文使用过时参数coauthors (帮助) Now available as free on-line edition (4.2MB PDF).
• Barr, Michael; Wells, Charles. Toposes, Triples and Theories (PDF). 2002 [2014-02-04]. ISBN 0-387-96115-1. （原始内容 (PDF)于2020-11-25）.  Revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).

外部連結

• Diagram Chasing （页面存档备份，存于互联网档案馆） at MathWorld
• WildCats （页面存档备份，存于互联网档案馆） is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, commutative diagrams, categories, functors, natural transformations.