圓判據

圓判據（circle criterion）是非線性控制及穩定性理論中，針對非線性時變系統的稳定性判据。可以視為是針對线性时不变系统（LTI）的奈奎斯特稳定判据之擴展版本。

簡介

考慮一個線性系統，但有非線性的回授，也就是在回授路徑上有非線性元素${\displaystyle \varphi (v,t)}$ ，假設此元素滿足區間條件${\displaystyle [\mu _{1},\mu _{2}]}$ ，而且（為了簡化系統）開迴路系統穩定。則閉迴路系統全域漸近穩定若其尼奎斯特轨迹不會穿過直徑為X軸上${\displaystyle [-1/\mu _{1},-1/\mu _{2}]}$ 的圓。

一般敘述

考慮非線性系統

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {Ax} +\mathbf {Bw} ,}$ 

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {Cx} ,}$ 

${\displaystyle \mathbf {w} =\varphi (v,t).}$ 

假設

1. ${\displaystyle \mu _{1}v\leq \varphi (v,t)\leq \mu _{2}v,\ \forall v,t}$ 
2. ${\displaystyle \det(i\omega I_{n}-A)\neq 0,\ \forall \omega \in R^{-1}{\text{ and }}\exists \mu _{0}\in [\mu _{1},\mu _{2}]\,:\,A+\mu _{0}BC}$  is stable
3. ${\displaystyle \Re \left[(\mu _{2}C(i\omega I_{n}-A)^{-1}B-1)(1-\mu _{1}C(i\omega I_{n}-A)^{-1}B)\right]<0\ \forall \omega \in R^{-1}.}$ 

則存在${\displaystyle \exists c>0,\delta >0}$ 使得針對系統的任意解，下式都成立；

${\displaystyle |x(t)|\leq ce^{-\delta t}|x(0)|,\ \forall t\geq 0.}$ 

條件3稱為「頻率條件」，條件1稱為「區間條件」。

相關條目

• 波波夫判據

外部連結

• Popov and Circle Criterion (Cam UK)（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Stability analysis using the circle criterion in Mathematica（页面存档备份，存于互联网档案馆）