反褶积

反褶积（英語：deconvolution）也稱為反摺積、反卷積或反滤波（英語：inverse filter），在数学上是摺積的反運算。在信号处理和影像處理會用到摺積和反摺積。例如可以用摺積來進行濾波，也可能用反褶积來還原濾波前的資訊^[1]。

Copernicus月坑在反褶积前後的影像，使用的是Richardson-Lucy（英语：Richardson–Lucy deconvolution）演算法

反褶积是需要大量運算的影像處理技巧，越來越多用在改善顯微鏡擷取數位信號的對比以及解析度上。有許多的演算法要改善或消除因為顯微鏡有限孔徑造成的影像模楜問題，而反褶积就是以這些演算法為基礎^[2]。

許多反褶积和時間序列的基礎都源自麻省理工学院教授諾伯特·維納所著的Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series（1949年）內^[3]。此書是以諾伯特·維納的研究為基礎，在第二次世界大战時完成，不過當時是列為機密。天气预报和经济学是最早使用這些理論的領域。

描述

反褶积的目标一般而言是找到满足以下方程的解${\displaystyle f}$ ：

${\displaystyle f*g=h\,}$ 

${\displaystyle h}$ 是观测数据，${\displaystyle f}$ 是希望恢复的信号。观测数据${\displaystyle h}$ 通常是${\displaystyle f}$ 和滤波器或失真函数${\displaystyle g}$ 的褶积，即${\displaystyle h}$ 是${\displaystyle f}$ 的失真版本，且不易直接在时域识别。函数${\displaystyle g}$ 代表观测系统或物理系统的脉冲响应。如果知道${\displaystyle g}$ 或它的形式，那么就可以进行确定性（Deterministic）反褶积；反之，如果没有关于${\displaystyle g}$ 的先验信息，我们就需要对其进行估计。估计的方法包括统计估计方法、对潜在系统建模（例如电路方程或扩散方程）等。

有几种去卷积技术，适用于不同测量误差和去卷积参数的选择。实际的观测过程更接近：

${\displaystyle (f*g)+\varepsilon =h\,}$ 

其中${\displaystyle \varepsilon }$ 是观测噪声。如果将含噪数据当作无噪处理，对${\displaystyle g}$ 的统计估计将是不准确的，对${\displaystyle f}$ 的估计同样不准确。信噪比越低，反褶积效果越差，这就是逆向滤波（英语：Inverse_filter）的效果通常不好的原因。如果对信号中的噪声分布有先验信息（例如知道信号中存在白噪声），对${\displaystyle f}$ 的估计就可以通过维纳反褶积（英语：Wiener_deconvolution）等方法提高。

在理想情况下（信噪比很高时），反褶积就是反滤波。原始反褶积可以在拉普拉斯域进行：计算观测数据${\displaystyle h}$ 和系统响应函数${\displaystyle g}$ 的傅里叶变换，得到${\displaystyle H}$ 和${\displaystyle G}$ ，其中${\displaystyle G}$ 是传递函数。此时：

${\displaystyle F=H/G\,}$ 

最后，对${\displaystyle F}$ 进行逆傅里叶变换，就可以得到通过反褶积得到的对原始信号${\displaystyle f}$ 的估计。需要注意的是，由于传递函数${\displaystyle G}$ 在分母上，对系统建模产生的误差会被放大。

應用

地震分析

地震分析中的反褶积是通过压缩基本子波来提高地震数据垂向分辨率的处理过程^[4]。在理想情况下，反褶积不但能压缩子波长度而且能衰减多次波，最后在地震波上仅仅保留反射系数。形同地層反射面。這種地震数据處理方法是假設地下地層結構是一個反射系数的時間函數^[5]。當地震震源子波與反射系数褶积后，形成的反射波就是檢波器所接受的信號。反褶积就是從信號中，導出反射系数的時間函數^[6]。

參考文獻

1. O'Haver, T. Intro to Signal Processing - Deconvolution. University of Maryland at College Park. [2007-08-15]. （原始内容于2021-09-03）. 
2. Introduction to Deconvolution. [2021-11-09]. （原始内容于2021-11-09）. 
3. Wiener, N. Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. Cambridge, Mass: MIT Press. 1964. ISBN 0-262-73005-7. 
4. O'Haver, T. "Intro to Signal Processing - Deconvolution". University of Maryland at College Park. Retrieved 2007-08-15.
5. Wiener, N. (1964). Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. Cambridge, Mass: MIT Press. ISBN 0-262-73005-7
6. “Introduction to Deconvolution”https://www.olympus-lifescience.com/en/microscope-resource/primer/digitalimaging/deconvolution/dec^{[失效連結]}