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Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. 引文格式1维护:冗余文本 (link)
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十月 05, 2023
雙球坐標系, 英語, bispherical, coordinates, 是一種三維正交坐標系, 設定二維雙極坐標系包含於, 平面, 設定這雙極坐標系的兩個焦點, displaystyle, displaystyle, 包含於, 將雙極坐標系繞著, 軸旋轉, 則可以得到, 在這二維雙極坐標系裏, 坐標, displaystyle, sigma, 的等值曲線是圓圈, 經過旋轉後, 圓圈變成一個環面, 而圓圈的圓心變成一個包含於, 平面的圓圈, 稱為環心圓, 稱環心圓至環面的距離為環小半徑, 的幾個坐標曲面, 紅色環面. 雙球坐標系 英語 Bispherical coordinates 是一種三維正交坐標系 設定二維雙極坐標系包含於 xz 平面 設定這雙極坐標系的兩個焦點 F 1 displaystyle F 1 與 F 2 displaystyle F 2 包含於 z 軸 將雙極坐標系繞著 z 軸旋轉 則可以得到雙球坐標系 在這二維雙極坐標系裏 坐標 s displaystyle sigma 的等值曲線是圓圈 經過旋轉後 圓圈變成一個環面 而圓圈的圓心變成一個包含於 xy 平面的圓圈 稱為環心圓 稱環心圓至環面的距離為環小半徑 圖 1 雙球坐標系的幾個坐標曲面 紅色環面的 s 45 displaystyle sigma 45 circ 藍色圓球面的 t 0 5 displaystyle tau 0 5 黃色半平面的 ϕ 60 displaystyle phi 60 circ z 軸是垂直的 以白色表示 x 軸以綠色表示 三個坐標曲面相交於點 P 以黑色的圓球表示 直角坐標大約為 0 841 1 456 1 239 displaystyle 0 841 1 456 1 239 圖 2 雙極坐標系繪圖 紅色圓圈變成上圖的紅色環面 s displaystyle sigma 坐標曲面 而藍色圓圈則變成藍色圓球面 t displaystyle tau 坐標曲面 目录 1 基本定義 1 1 坐標曲面 1 2 逆變換 1 3 標度因子 2 應用 3 參閱 4 參考目錄基本定義 编辑在三維空間裏 一個點 P 的雙球坐標 s t ϕ displaystyle sigma tau phi nbsp 最常見的定義是 x a sin s cosh t cos s cos ϕ displaystyle x a frac sin sigma cosh tau cos sigma cos phi nbsp y a sin s cosh t cos s sin ϕ displaystyle y a frac sin sigma cosh tau cos sigma sin phi nbsp z a sinh t cosh t cos s displaystyle z a frac sinh tau cosh tau cos sigma nbsp 其中 x y z displaystyle x y z nbsp 是直角坐標 s displaystyle sigma nbsp 坐標是 F 1 P F 2 displaystyle angle F 1 PF 2 nbsp 的弧度 t displaystyle tau nbsp 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 d 1 displaystyle d 1 nbsp 與 d 2 displaystyle d 2 nbsp 的比例的自然對數 t ln d 1 d 2 displaystyle tau ln frac d 1 d 2 nbsp 坐標曲面 编辑 每一個紅色的 s displaystyle sigma nbsp 坐標曲面都是包含了兩個焦點 F 1 displaystyle F 1 nbsp 與 F 2 displaystyle F 2 nbsp 環面 每一個環面的環心圓都不相同 這些環心圓都包含於 xy 平面 環小半徑為 z 2 x 2 y 2 a cot s 2 a 2 sin 2 s displaystyle z 2 left sqrt x 2 y 2 a cot sigma right 2 frac a 2 sin 2 sigma nbsp 當絕對值 s displaystyle left sigma right nbsp 增加時 環小半徑會減小 環心圓會靠近原點 當環心圓與原點同點時 s displaystyle left sigma right nbsp 達到最大值 p 2 displaystyle pi 2 nbsp 每一個藍色的 t displaystyle tau nbsp 坐標曲面都是不相交的圓球面 每一個圓球面都包圍著一個焦點 圓球心都包含於 z 軸 圓球半徑為 x 2 y 2 z a coth t 2 a 2 sinh 2 t displaystyle x 2 y 2 z a coth tau 2 frac a 2 sinh 2 tau nbsp 它們的圓球心都包含於 z 軸 正值 t displaystyle tau nbsp 的圓球面在 z gt 0 displaystyle z gt 0 nbsp 半空間 而負值 t displaystyle tau nbsp 的圓球面在 z lt 0 displaystyle z lt 0 nbsp 半空間 t 0 displaystyle tau 0 nbsp 曲線則與 xy 平面同平面 當 t displaystyle tau nbsp 值增加時 圓球面的半徑會減少 圓球心會靠近焦點 逆變換 编辑 nbsp 圖 3 點 P 的坐標 s displaystyle sigma nbsp 與 t displaystyle tau nbsp 的幾何意義 在一個方位角 ϕ displaystyle phi nbsp 為常數的平面裏 雙球坐標系變成雙極坐標系 s displaystyle sigma nbsp 是角 F 1 P F 2 displaystyle angle F 1 PF 2 nbsp 的弧度 t displaystyle tau nbsp 是點 P 離兩個焦點的距離 d 1 displaystyle d 1 nbsp 與 d 2 displaystyle d 2 nbsp 的比例的自然對數 s displaystyle sigma nbsp 與 t displaystyle tau nbsp 的等值曲線都是圓圈 分別以紅色與藍色表示 兩條等值曲線以直角相交 表示在洋紅色的方盒裏 雙球坐標 s t ϕ displaystyle sigma tau phi nbsp 可以用直角坐標 x y z displaystyle x y z nbsp 來表示 方位角 ϕ displaystyle phi nbsp 的公式為 tan ϕ y x displaystyle tan phi frac y x nbsp 點 P 與兩個焦點之間的距離是 d 1 2 x 2 y 2 z a 2 displaystyle d 1 2 x 2 y 2 z a 2 nbsp d 2 2 x 2 y 2 z a 2 displaystyle d 2 2 x 2 y 2 z a 2 nbsp t displaystyle tau nbsp 是 d 1 displaystyle d 1 nbsp 與 d 2 displaystyle d 2 nbsp 的比例的自然對數 t ln d 1 d 2 displaystyle tau ln frac d 1 d 2 nbsp 如圖 3 F 1 P F 2 displaystyle angle F 1 PF 2 nbsp 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 之間的夾角 這夾角的弧度是 s displaystyle sigma nbsp 用餘弦定理來計算 cos s d 1 2 d 2 2 4 a 2 2 d 1 d 2 displaystyle cos sigma frac d 1 2 d 2 2 4a 2 2d 1 d 2 nbsp 標度因子 编辑 雙球坐標 s displaystyle sigma nbsp 與 t displaystyle tau nbsp 的標度因子相等 h s h t a cosh t cos s displaystyle h sigma h tau frac a cosh tau cos sigma nbsp 方位角的標度因子為 h ϕ a sin s cosh t cos s displaystyle h phi frac a sin sigma cosh tau cos sigma nbsp 無窮小體積元素是 d V a 3 sin s cosh t cos s 3 d s d t d ϕ displaystyle dV frac a 3 sin sigma cosh tau cos sigma 3 d sigma d tau d phi nbsp 拉普拉斯算子是 2 F cosh t cos s 3 a 2 sin s s sin s cosh t cos s F s sin s t 1 cosh t cos s F t 1 sin s cosh t cos s 2 F ϕ 2 displaystyle nabla 2 Phi frac left cosh tau cos sigma right 3 a 2 sin sigma left frac partial partial sigma left frac sin sigma cosh tau cos sigma frac partial Phi partial sigma right sin sigma frac partial partial tau left frac 1 cosh tau cos sigma frac partial Phi partial tau right frac 1 sin sigma left cosh tau cos sigma right frac partial 2 Phi partial phi 2 right nbsp 其它微分算子 像 F displaystyle nabla cdot mathbf F nbsp F displaystyle nabla times mathbf F nbsp 都可以用 s t z displaystyle sigma tau z nbsp 坐標表示 只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式 應用 编辑雙球坐標有一個經典的應用 這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式 在這些方程式裏 雙球坐標允許分離變數法的使用 一個典型的例題是 有兩個不同半徑的圓球導體 請問其周圍的電位與電場為什麼 應用雙球坐標 我們可以精緻地分析這个问題 參閱 编辑參考目錄 编辑Morse PM Feshbach H Methods of Theoretical Physics Part I New York McGraw Hill 1953 p 665 666 引文格式1维护 冗余文本 link Korn GA Korn TM Mathematical Handbook for Scientists and Engineers New York McGraw Hill 1961 p 182 引文格式1维护 冗余文本 link Zwillinger D Handbook of Integration Boston MA Jones and Bartlett 1992 p 113 ISBN 0 86720 293 9 引文格式1维护 冗余文本 link Moon PH Spencer DE Toroidal Coordinates h 8 ps Field Theory Handbook Including Coordinate Systems Differential Equations and Their Solutions 2nd ed 3rd revised printing New York Springer Verlag 1988 pp 110 112 Section IV E4Ry ISBN 0 387 02732 7 引文格式1维护 冗余文本 link 取自 https zh wikipedia org w index php title 雙球坐標系 amp oldid 72969759, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,