凯泽窗

凯泽窗（Kaiser window）是由贝尔实验室的James Kaiser所提出的。凯泽窗是一個單參數的窗函数群，用在数字信号处理中，其定義如下^[1][2]：

凯泽窗

${\displaystyle w[n]=\left\{{\begin{matrix}{\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N-1}}-1\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},&0\leq n\leq N-1\\\\0&{\mbox{otherwise}},\\\end{matrix}}\right.}$

其中：

• N 為序列的長度
• I₀ 是零階的第一類修正貝索函數
• α 是任意非負實數，用來調整凯泽窗的外形。在頻域上可以在主瓣（main-lobe）寬度及旁瓣（side lobe）大小中取拾，這是窗函數設計的重要考量因素。

若N為奇數，窗函數最大值會在 ${\displaystyle \scriptstyle w[(N-1)/2]=1,}$ 。若N為偶數，窗函數最大值會在 ${\displaystyle \scriptstyle w[N/2-1]\ =\ w[N/2]\ <\ 1.}$。

傅立葉變換

若將上述離散數列視為是連續函數，並進行傅立葉變換：

${\displaystyle \underbrace {\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2t}{(N-1)T}}\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}} _{w_{0}(t)}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad \underbrace {\frac {(N-1)T\cdot \sinh \left(\pi {\sqrt {\alpha ^{2}-\left((N-1)T\cdot f\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )\cdot \pi {\sqrt {\alpha ^{2}-\left((N-1)T\cdot f\right)^{2}}}}} _{W_{0}(f)}.}$ 

 

兩個不同α參數凯泽窗的傅立葉變換

w₀(t)的最大值為w₀(0) = 1.  上述的w[n]數列為以下函收的取様：

${\displaystyle w_{0}\left(t-{\tfrac {(N-1)T}{2}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-(N-1)T/2}{NT}}\right),}$    ，在間隔T的時間進行取樣。

而且rect()為矩形函数.&nbsp；W₀(f)主瓣後的第一個零點在：

${\displaystyle f={\frac {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}{NT}},}$      </math>^[3]

調整α可以在主瓣的寬度及旁瓣大小中進行取捨。若α增加，W₀(f)主瓣的寬度增加，而旁瓣的大小減小，如右圖所示。α = 0會對應長方形的窗函數。若α增加，時域及頻率下凯泽窗的形狀都會接近高斯曲線。凯泽窗在頻率0附近的集中程度是幾乎最佳化的（Oppenheim et al., 1999）。

腳註

1. Harris, Fredric j. On the use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform (PDF). Proceedings of the IEEE. Jan 1978, 66 (1): 73–74 [2017-01-29]. doi:10.1109/PROC.1978.10837. （原始内容 (PDF)于2017-03-19）.  Article on FFT windows which introduced many of the key metrics used to compare windows.
2. Kaiser, James F.; Ronald W. Schafer. On the Use of the I0-Sinh Window for Spectrum Analysis. IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing. February 1980,. ASSP-28 (1): 105–107. 
3. Kaiser, James F.; Schafer, Ronald W. On the use of the I₀-sinh window for spectrum analysis. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1980, 28: 105–107. doi:10.1109/TASSP.1980.1163349. 

參考資料

• Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W.; Buck J. R. Discrete-time signal processing. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. 1999. ISBN 0-13-754920-2. 
• Kaiser, J. F. (1966). Digital Filters. In Kuo, F. F. and Kaiser, J. F. (Eds.), System Analysis by Digital Computer, chap. 7. New York, Wiley.
• Craig Sapp, , Music 422 / EE 367C: Perceptual Audio Coding (Stanford University course page, 2001).